Simplifique as expressões abaixo:
a) sen (π − x)
b) cos (π − x)
c) tg (π − x)
d) sen (π + x)
e) cos (π + x)
f) tg (π + x)
g) sen (2π − x)
h) cos (2π − x)
i) tg (2π − x)
Soluções para a tarefa
Resposta:
Calcule:
(a) sen(π−x)−cos(
π
2 −x)−tg(2π−x)
tg(π−x)−cos(2π−x)+sen(
π
2 −x)
(b) cos(90o+x)+cos(180o−x)+cos(3600−x)+3.cos(90o−x)
sen(270o+x)−sen(90o+x)−cos(90o−x)+sen(180o−x)
em fun¸c˜ao de tgx.
2. Construa os seguintes gr´aficos:
(a)
f : R → R
dada por f(x) = −sen x
3
(b)
f : R → R
dada por f(x) = 3.sen4x
(c)
f : R → R
dada por f(x) = 1 + 2.senx
(d)
f : R → R
dada por f(x) = sen(x −
π
4
)
(e)
f : R → R
dada por f(x) = |cosx|
(f)
f : R → R
dada por f(x) = 1 + 2.cos3x
(g)
f : (R − {x ∈ R|x 6=
π
6 +
kπ
2
, k ∈ Z}) → R
dada por f(x) = tg(2x +
π
6
)
1
Explicação passo-a-passo:
Determine o per´ıodo das seguintes fun¸c˜oes reais:
(a) f(x) = cotg(x −
π
3
)
(b) g(x) = sec2x
(c) h(x) = cossec(x +
π
4
)
Fun¸c˜oes pares e ´ımpares
Def: Uma fun¸c˜ao
f : A → B
´e denominada fun¸c˜ao par se, e somente se: f(x) = f(−x),∀ x ∈ A, isto ´e dando valores sim´etricos
`a vari´avel, obtemos o mesmo valor para a fun¸c˜ao (A e B s˜ao subconjuntos dos n´umeros reais).
Exemplos de fun¸c˜oes pares:
(a) f(x) = |x| ´e fun¸c˜ao par, pois | − x| = |x| ∀x ∈ R
(b) f(x) = x
n onde n ´e par.
4. Mostre que a fun¸c˜ao cosseno ´e par.
Def: Uma fun¸c˜ao
f : A → B
´e denominada fun¸c˜ao ´ımpar se, e somente se: f(x) = −f(−x),∀x ∈ A, isto ´e dando valores sim´etricos
`a vari´avel, obtemos valores sim´eticos para a fun¸c˜ao (A e B s˜ao subconjuntos dos n´umeros reais).
Exemplos de fun¸c˜oes ´ımpares:
(a) f(x) = ax, onde a 6= 0.
(b) f(x) = x
n, onde n ´e ´ımpar.
5. Mostre que a fun¸c˜ao seno ´e ´ımpar.
6. Prove que, se f ´e ´ımpar e 0 pertence ao seu dom´ınio ent˜ao f(0) = 0.
7. Prove que, se f ´e par e ´ımpar, ent˜ao f(x) = 0.
8. Resolva, em R, as seguintes equa¸c˜oes:
(a) sen2x =
1
4
(b) 2sen2x − 3senx + 1 = 0
(c) 3.tgx = 2.cosx
(d) cossecx = 2
(e) sen5x = sen3x
(f) cos(
π
6 + x) = 0
2
(g) tgx = tg π
5
9. Para que valores de x ∈ R existe log2
(2senx − 1)?
10. Resolva, em R: log2
(2senx − 1) = log4
(3sen2x − 4senx + 2)
RESPOSTAS
1. (a) −1
(b) −tgx
2. (a) Im(f) = [-1,1] , p(f) = 6 Π
(b) Im(f) = [-3,3] , p(f) = Π/2
3
(c) Im(f) = [-1,3] , p(f) = 2 Π
(d) Im(f) = [-1,1] , p(f) = 2 Π
(e) Im(f) = [0,1] , p(f) = Π
4
(f) Im(f) = [-1,3] , p(f) = 2Π
3
(g) D(f) = {x ∈ R| x 6=
π
6 +
kπ
2
, k ∈ Z} , p(f) = Π
2
3. D(f) = {x ∈ R| x 6=
π
3 + kπ, k ∈ Z}
D(g) = {x ∈ R| x 6=
π
4 +
kπ
2
, k ∈ Z}
D(h) = {x ∈ R| x 6=
−π
4 + kπ, k ∈ Z}
4. Observe que:
cos(x) = sen(
π
2 − x) = sen(π − (
π
2 + x)) = sen(
π
2 + x) = sen(
π
2 − (−x)) = cos(−x).
5. Observe que:
sen(x) = cos(
π
2 − x) = cos(π + (−
π
2 − x)) = −cos(−
π
2 − x) = −cos(
π
2 − (−x)) = −sen(−x).
6. Observe que:
f(0) = f(−0) = −f(−0). Da´ı 2 · f(0) = 0 e portanto f(0) = 0.
(f) Im(f) = [-1,3] , p(f) = 2Π
3
(g) D(f) = {x ∈ R| x 6=
π
6 +
kπ
2
, k ∈ Z} , p(f) = Π
2
3. D(f) = {x ∈ R| x 6=
π
3 + kπ, k ∈ Z}
D(g) = {x ∈ R| x 6=
π
4 +
kπ
2
, k ∈ Z}
D(h) = {x ∈ R| x 6=
−π
4 + kπ, k ∈ Z}
4. Observe que:
cos(x) = sen(
π
2 − x) = sen(π − (
π
2 + x)) = sen(
π
2 + x) = sen(
π
2 − (−x)) = cos(−x).
5. Observe que:
sen(x) = cos(
π
2 − x) = cos(π + (−
π
2 − x)) = −cos(−
π
2 − x) = −cos(
π
2 − (−x)) = −sen(−x).
6. Observe que:
f(0) = f(−0) = −f(−0). Da´ı 2 · f(0) = 0 e portanto f(0) = 0.
5
7. Observe que:
f(x) = f(−x), pois f ´e par e ,
f(x) = −f(−x), pois f ´e ´ımpar
Portanto 2 · f(x) = 0, ou seja, f(x) = 0 ∀ x ∈ dom´ınio de f.
8.
(a) S = {x ∈ R| x =
π
6 + 2kπ ou x =
5π
6 + 2kπ ou x =
7π
6 + 2kπ ou x =
−π
6 + 2kπ, k ∈ N}
(b) S = {x ∈ R| x =
π
2 + 2kπ ou x =
π
6 + 2kπ ou x =
5π
6 + 2kπ, k ∈ N}
(c) S = {x ∈ R| x =
π
6 + 2kπ ou x =
5π
6 + 2kπ, k ∈ N}
(d) S = {x ∈ R| x =
π
6 + 2kπ ou x =
5π
6 + 2kπ, k ∈ N}
(e) S = {x ∈ R| x = kπ ou x =
π
8 +
kπ
4
, k ∈ N}
(f) S = {x ∈ R| x =
π
3 + 2kπ ou x =
−2π
3 + 2kπ, k ∈ N}
(g) S = {x ∈ R| x =
π
5 + kπ, k ∈ N}
9. S = {x ∈ R|
π
6 + 2kπ ≤ x ≤
5π
6 + 2kπ, k ∈ N}
10. S = {x ∈ R| x =
π
2 + kπ, k ∈ N}
BIBLIOGRAFIA
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matem´atica Ele-
mentar - Trigonometria. 8a
edi¸c˜ao. Vol 3. Editora: Atual.
Esta lista foi elaborada pela P rofa Ms. Cl´audia Ribeiro Santana (UESC-DCET) e con-
feccionada com a colabora¸c˜ao de Paulo Roberto Ribeiro de Jesus (6
o
semestre de Qu´ımica-
UFBA).
6
Resposta:
hnvjkrjckudjrkckdkkj no carnaval e o nome do trabalho de história da minha mae