Question

simplifique: a) n!-(n+2)!/n! e b) n!-(n+1)/n!

Answer 1

Explicarei brevemente como funciona o fatorial pra vc entender como simplificar:

Por exemplo:
5! =
5.4! =
5.4.3! =  
5.4.3.2!   =
5.4.3.2.1! =
5.4.3.2.1 =
120

certo?

Pois é, se vc perceber pra simplificar um fatorial vc tem sempre que multiplicar pelo número anterior até chegar o momento que não dar mais e tem q multiplicar os números.

Agora vamos supor um número "n":

n! = 
n.(n-1)! =   

//veja aqui eu to simplificando multiplicado pelo numero anterior no caso é o n-1..

continuando...

n.(n-1).(n-2)! = 
n.(n-1).(n-2)(n-3)!  até o infinito...

Agora vamos pra sua questão:

O objetivo é achar uma estratégia pra "cortar" o fatorial do numerador com o denominador da fração:

a) 
$\frac{n! - (n+2)!}{n!} = \\\\ \frac{n! -(n+2).(n+1).n!}{n!}$ 

Aqui eu simplifiquei o (n+2)! em (n+2).(n+1).n!  (multiplicando sempre com o seu anterior):

$\frac{n!(1 - (n+2)(n+1))}{n!} = \\\\ 1 - (n+2)(n+1)$

Aqui eu coloquei o n! em evidência justamente pra "cortar" o " n! " com o denominador da fração e chegando na resposta.

b)
 $\frac{n! - (n+1)}{n!} = \\\\ \frac{n! - (n+1).n!}{n!} = \\\\ \frac{n!(1-(n+1))}{n!} = \\\\ 1 - n - 1 = \\\\ -n$

;)

Answer 2

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{\dfrac{n! - (n + 2)!}{n!}}$

$\mathsf{\dfrac{n! - n!.(n+1).(n + 2)}{n!}}$

$\mathsf{1 - (n+1).(n + 2)}$

$\mathsf{1 - n^2 + 3n + 2}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{n! - (n + 2)!}{n!} = -n^2 - 3n - 1}}}$

$\mathsf{\dfrac{n! - (n + 1)!}{n!}}$

$\mathsf{\dfrac{n! - n!.(n+1)}{n!}}$

$\mathsf{1 - (n+1)}$

$\mathsf{-n}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{n! - (n + 2)!}{n!} = -n}}}$