Question

Simplifique a fração a seguir:
$\alpha$ $x^{4}$ - $\alpha$$x^{3}$ + 2$\alpha$ $x^{2}$ /$x^{5}$ - $x^{4}$ + 2$x^{3}$ , $x$ ≠ 0

Answer 1

Temos a seguinte expressão:

$\frac{\alpha x^{4} - \alpha x^{3}+ 2\alpha x^{2}}{x^{5} - x^{4} + 2x^{3}}, \: x ≠ 0$

Primeiro vamos encontrar termos comuns, para isso vamos iniciar fazer a fatoração separada.

$\alpha x {}^{4} - \alpha x {}^{3} + 2\alpha x {}^{2}$

Note que podemos reescrever essa expressão da seguinte maneira:

$\alpha x {}^{2} .x {}^{2} - \alpha {x}^{2} .x + 2 \alpha x {}^{2}$

Veja que temos tanto x², quanto (a) em todos os termos, então podemos colocá-los em evidência:

$\alpha x {}^{2} .(x {}^{2} - x + 2)$

Por enquanto vamos parar por aqui e ir para a segunda expressão:

$x {}^{5} - x {}^{4} + 2x {}^{3}$

Reescrevendo a expressão dessa maneira:

$x {}^{3} .x {}^{2} - x {}^{3}.x + 2x {}^{3}$

Temos o termo x³ em evidência. Logo:

$x {}^{3} .(x {}^{2} - x + 2)$

Agora vamos pegar essas expressões fatoradas e substituir na fração:

$\frac{ \alpha x {}^{2}.(x {}^{2} - x + 2)}{x {}^{3} .(x {}^{2} - x + 2)}$

Como a gente tem dois termos iguais, sendo um deles localizado no numerador e outro no denominador, podemos cancelá-los:

$\frac{ \alpha x {}^{2}. \cancel{(x {}^{2} - x + 2)}}{x {}^{3} . \cancel{(x {}^{2} - x + 2)}}\longrightarrow \frac{ \alpha x {}^{2} }{x {}^{3} }$

Fazendo a divisão de potências de mesma base:

$\alpha .x {}^{2 - 3} \longrightarrow \alpha .x {}^{ - 1}\longrightarrow \frac{ \alpha }{x}$

Portanto podemos concluir que:

$\boxed{\frac{\alpha x^{4} - \alpha x^{3}+ 2\alpha x^{2}}{x^{5} - x^{4} + 2x^{3}} = \frac{ \alpha }{x}}$

Espero ter ajudado