Question

Simplifique a expressão abaixo

Answer 1

Resposta:

(1 + sen( π - x ) * cos ( π/2  +  x ) )  / ( cos² ( π - x ) )  =  1  , quando cos x ≠ 0

Explicação passo-a-passo:

Pedido :

Simplifique a expressão :

( 1 + sen ( π - x ) * cos ( π/2  +  x ) )  / ( cos² ( π - x ) )

Resolução:

I - Introdução prévia à resolução:

Antes de indicar as etapas relativas às simplificações peço-lhe que me acompanhe em vários raciocínios.

E que, ao fazer isto, trace um circulo trigonométrico, representando os ângulos que lhe vou dar.

( Para ser mais fácil de lidar vou-lhe falar em ângulos medidos em graus;

vou lidar com 180º  em vez de π ;   e π / 2  = 90º  .

Claro que é o mesmo que para π radianos  )

Cálculos auxiliares:

a) sen ( π - x )

Imagine um ângulo no 1º quadrante do circulo trigonométrico.

Por exemplo x = 10º

O ângulo 180 - 10 = 170º

Este ângulo está no 2º quadrante e vai estar 10º acima ( quer dizer posição relativa) do ângulo 180º.

O seno no 1º e 2º quadrantes é sempre positivo.

sen 170º  = 0,13648

sen 10º    = 0,13648

⇒  sen ( π - x )  = sen x

b) cos ( π/2  +  x )

Peguemos no mesmo ângulo x = 10º

Se lhe somar 90º temos o ângulo 100º , que fica, no 2º quadrante, ligeiramente à esquerda de ângulo 90º.

O cos de 100º tem um valor pequeno e negativo.

cos 100º =  - 0, 13648

sen 10º   =    0,13648

O valor do cos 100º é simétrico do valor do sen 10º

cos ( π/2 + x ) = - sen x

c)  cos² ( π - x ) = cos ( π - x ) * cos ( π - x )   pela definição de potência

cos 10º = 0,9848

cos 170º =  - 0,9848

cos ( π - x ) = - cos x

II - Resolução propriamente dita

( 1 + sen( π - x ) * cos ( π/2  +  x ) )  / ( cos² ( π - x ) )

= ( ( 1 + sen x * ( - sen x ) ) / ( ( - cos x ) * ( - cos x ) )

= ( 1 - sen² x ) / ( cos² x )

Nota :

Pela Lei fundamental da trigonometria,    sen² x  + cos ² x  =  1

Resolvendo em ordem a cos ² x

sen² x  + cos ² x  =  1  

⇔ cos ² x  =  1 - sen² x

Concluindo a resolução

= ( 1 - sen² x ) / ( cos² x )

=  ( cos ² x ) / ( cos ² x )

=  1       (válido quando cos x ≠ 0 )

Nota final:

O ângulo de 10º que tomei por exemplo, pertence ao 1º quadrante do circulo trigonométrico.

Se tivesse utilizado, à escolha e como ponto de partida, um ângulo de quaisquer dos outros quadrantes, o resultado final não seria alterado.

Sinais : ( * ) multiplicar   ( / ) dividir

Espero ter ajudado bem.  

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Se tiver alguma dúvida me contacte através dos Comentários da pergunta.  

Bom estudo e um bom dia para si.