Question

Simplifique a expressão:

Answer 1

Vamos nos referir à expressão por $E:$

$E=\dfrac{a-a^{2}}{a^{2}-1}:\left(\dfrac{a}{a+1}-a \right )$


Para que seja possível a simplificação, devemos ter

$a\neq -1\;\;\text{ e }\;\;a\neq 0\;\;\text{ e }\;\;a \neq 1$


Reduzindo os termos nos parênteses ao mesmo denominador,

$E=\dfrac{a-a^{2}}{a^{2}-1}:\left(\dfrac{a}{a+1}-\dfrac{a\,(a+1)}{a+1} \right )\\ \\ \\ E=\dfrac{a-a^{2}}{a^{2}-1}:\left(\dfrac{a-a\,(a+1)}{a+1} \right )\\ \\ \\ E=\dfrac{a-a^{2}}{a^{2}-1}:\left(\dfrac{a-a^{2}-a}{a+1} \right )\\ \\ \\ E=\dfrac{a-a^{2}}{a^{2}-1}:\left(\dfrac{-a^{2}}{a+1} \right )$


Na divisão entre frações, multiplica a primeira pelo inverso da segunda:

$E=\dfrac{a-a^{2}}{a^{2}-1}\cdot \left(\dfrac{a+1}{-a^{2}} \right )$


Colocando o fator comum $a$ em evidência no numerador do fator da esquerda,

$E=\dfrac{a\,(1-a)}{a^{2}-1}\cdot \left(\dfrac{a+1}{-a^{2}} \right )\\ \\ \\ E=\dfrac{-a\,(a-1)}{a^{2}-1}\cdot \left(\dfrac{a+1}{-a^{2}} \right )$


O denominador é o quadrado de uma diferença (produto notável):

$E=\dfrac{-a\,(a-1)}{(a-1)\,(a+1)}\cdot \left(\dfrac{a+1}{-a^{2}} \right )\\ \\ \\ E=\dfrac{-a\,(a-1)\,(a+1)}{(a-1)\,(a+1)\,(-a^{2})}$


Simplificando os fatores comums $(a-1)\,(a+1)$ no numerador e no denominador, temos

$E=\dfrac{-a}{-a^{2}}\\ \\ \\ E=\dfrac{\diagup\!\!\!\! a}{\diagup\!\!\!\! a\cdot a}\\ \\ \\ E=\dfrac{1}{a}$


Resposta: alternativa $\text{(B) }\dfrac{1}{a}.$