Simplifique a expressão (18x² - 9xy -20y² + 46y + 24x – 24)/(3x² -4xy + 12x – 8y + 12).
Soluções para a tarefa
Resposta: (6x + 5y - 4)/(x + 2)
Explicação passo-a-passo:
Meu cérebro se despedaçou para encontrar tal fatoração kkkkkkk, ainda bem que consegui. Segue abaixo a fatoração do polinômio bivariado que encontra-se no numerador da fração algébrica (fatoração do numerador):
18x² - 9xy - 20y² + 46y + 24x - 24 =
18x² - 24xy + 15xy - 20y² + 30y + 16y + 36x - 12x - 24 =
18x² - 24xy + 15xy - 20y² + 36x + 30y + 16y - 12x - 24 =
6x(3x - 4y) + 5y(3x - 4y) + 6(6x + 5y) - 4(- 4y + 3x + 6) =
(3x - 4y)(6x + 5y) + 6(6x + 5y) - 4(3x - 4y + 6) =
(6x + 5y)(3x - 4y + 6) - 4(3x - 4y + 6) =
(3x - 4y + 6)(6x + 5y - 4) (i)
E a do denominador:
3x² - 4xy + 12x - 8y + 12 =
4x² - x² - 4xy + 8x + 4x - 8y + 8 + 4 =
4x² - 4xy + 4x + 8x - 8y + 8 + 4 - x² =
4x(x - y + 1) + 8(x - y + 1) + 4 - x² =
(x - y + 1)(4x + 8) + 4 - x² =
4(x - y + 1)(x + 2) + (2² - x²) =
4(x - y + 1)(x + 2) + (2 + x)(2 - x) =
4(x - y + 1)(x + 2) + (x + 2)(2 - x) =
(x + 2)[4(x - y + 1) + (2 - x)] =
(x + 2)(4x - 4y + 4 + 2 - x) =
(x + 2)(3x - 4y + 6) (ii)
Levando em consideração todas as possíveis condições de existência da fração algébrica, poderemos simplificar, sem problema algum, o que nos for conveniente. Logo, o resultado será obtido através da divisão de (i) por (ii) (numerador por denominador). Assim sendo, obteremos:
(i) = (6x + 5y - 4)(3x - 4y + 6)
e
(ii) = (x + 2)(3x - 4y + 6)
=>
(i) : (ii) = (6x + 5y - 4)(3x - 4y + 6)/(x + 2)(3x - 4y + 6) =>
(i) : (ii) = [(6x + 5y - 4)/(x + 2)][(3x - 4y + 6)/(3x - 4y + 6)] * =>
(i) : (ii) = (6x + 5y - 4)/(x + 2)
Que é a nossa resposta.
* (3x - 4y + 6)/(3x - 4y + 6) = 1. Tal resultado é obviamente verdadeiro. Sua explicação reside no fato de (3x - 4y + 6) ser necessariamente diferente de zero (das condições de existência da fração algébrica).
Abraços!