Question

simplificando o numero complexo de raiz de 2/2 - a raiz de 2/2 2010 obtemos ?
a)2i
b)i
c)-i
d)1,
e)-1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para simplificar a seguinte expressão complexa:

z = [√(2)/2 - i√(2)/2]²⁰¹⁰ ------ veja: vamos colocar "√(2)/2" em evidência, com o que ficaremos apenas assim:

z = [√(2)/2*( 1 - i)]²⁰¹⁰ ---- note que poderemos reescrever isto da seguinte forma:

z = {[√(2)/2(1-i)]²}¹⁰⁰⁵ ----- note que isto é a mesma coisa que:

z = {[√(2)/2]²*(1-i)²}¹⁰⁰⁵ ---- veja que [√(2)/2]² = 2/4. Assim:
z = {(2/4)*(1-i)²}¹⁰⁰⁵ ---- veja que 2/4 = 1/2 (após dividirmos numerador e denominador por "2". Assim:

z = {(1/2)*(1-i)²}¹⁰⁰⁵

Agora veja uma coisa importante e nunca mais esqueça:
(1-i)² = - 2i; e (1+i)² = 2i.
Assim, a nossa expressão acima irá ser esta:

z = {(1/2)*(-2i)}¹⁰⁰⁵ ---- atente que (1/2)*(-2i) = 1*(-2i)/2 = -2i/2 = - i (após dividirmos numerador e denominador por "2"). Assim, iremos ficar com:

z = {-i}¹⁰⁰⁵

Agora veja: dividindo-se 1.005 por "4" dá quociente igual a "251" e resto igual a "1". Logo: (-i)¹⁰⁰⁵ = (-i)¹ = -i. Assim, iremos ficar com:

z = - i <--- Esta é a resposta. Opção "c".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.