Question

Simplificando (n+1)!+n!/(n+1)!, obtém-se:
a. 1/n+2
b. n!/n+1
c. 1/(n+2)(n+1)
d. 1/n+1
e. n!/n+2

Answer 1

Antes de tudo, note que é imprescindível a realização de uma análise relacionada às Condições de Existência (C.E.) da seguinte fração algébrica constituída por expressões fatoriais:

$\mathsf{\dfrac{\big(n+1\big)!+n!}{\big(n+1\big)!}\qquad (i)}$

Baseado nisso, obtém-se a seguinte restrição para a variável n:

$\mathsf{\qquad\ \ \ \,\exists~~\dfrac{\big(n+1\big)!+n!}{\big(n+1\big)!}}\\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \exists~\,\big(n+1\big)!\quad~e~\quad \exists~\,n!}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad n+1\ \in\ \mathbb{N}\quad~e~\quad n\ \in\ \mathbb{N}}\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad n\ \in\ \mathbb{Z},\, n\geq-1\quad~e~\quad n\ \in\ \mathbb{N}}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad n\ \in\ \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\cdots\}}$

Postas todas as condições acima, podemos dar seguimento a esta resolução. O exercício solicita a máxima simplificação do quociente de termos fatoriais explícito em (i), com isso faz-se necessário ter conhecimento do seguinte resultado:

$\mathsf{k!=k \cdot \big(k-1\big) \cdot \big(k-2\big) \cdot \big(k-3\big)\,\cdots\,\, 3 \cdot 2 \cdot 1,\ \forall\ k\ \in\ \mathbb{N^{*}}}$

A igualdade acima fornece o resultado de k! (fatorial de k), sendo válida para qualquer que seja o valor inteiro positivo atribuído a k. Sem mais delongas, a expressão (i) equivaler-se-á:

$\mathsf{\qquad\dfrac{\big(n+1\big)!+n!}{\big(n+1\big)!}}\\\\\\ \mathsf{=\quad \dfrac{\big(n+1\big) \cdot n! +n!}{\big(n+1\big)\cdot n!}}\\\\\\ \mathsf{=\quad \dfrac{\diagup\!\!\!\!n!\cdot\big[\big(n+1\big)+1\big]}{\diagup\!\!\!\!n!\cdot\big(n+1\big)}}\\\\\\ \mathsf{=\quad\dfrac{\big(n+1\big)+1}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{=\quad \dfrac{n+1}{n+1}+\dfrac{1}{n+1}}\\\\\\ \mathsf{=\quad 1+\dfrac{1}{n+1}}$

Obs.: Verifique se todas as alternativas estão escritas corretamente.

Um grande abraço!