Question

Simplesmente eu tentei de tudo e não consigo chegar a uma solução satisfatória, as que eu achei na net eu n entendi muito bem, estou a 2 horas nela e prestes a abandonar, espero q alguém possa me ajudar

Answer 1

Olá, siga a explicação:

Resolução Comentada:

Elevando os termos ao quadrado:

$f(x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt{{f(x) - [f(x)^{2}] }} \Longleftrightarrow f(x+a)= \frac{1}{2} = \sqrt {f(x) - [f(x)^{2}] } } \\ \\ \lbrack f(x+a) \rbrack ^{2} - 2 \cdot f(x+a) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = f(x)- \lbrack f(x) \rbrack ^{2} \\ \\ \lbrack f(x) \rbrack ^{2} - f(x) + \frac{1}{4} = f(x+a) - \lbrack f(x+a) \rbrack ^{2} \\ \\ f(x)-\frac{1}{2} ^{2} = f(x+a) - \lbrack f(x+a) \rbrack ^2 \:\:\:\: ( Relacao \:\: I )$

Fazendo:

$x= x+a \: \: em f(x+a)= \frac{1}{2} + \sqrt{f(x)- \lbrack f(x) \rbrack ^{2} } , temos: \\ \\ f(x+2a)= \frac{1}{2} + \sqrt{f(x+a)- \lbrack f(x+a) \rbrack ^2} \:\: e \:\: a \:\: Relacao\:\: I \:\: surge \\ \\ f(x+2a)= \frac{1}{2} \sqrt{f(x)- \frac{1}{2}^{2} } \: \: e \: \: como \: \: f(x) \geq \frac{1}{2} \: \: ,\: temos \\ \\ f(x+2a)= \frac{1}{2} + f(x)- \frac{1}{2}\: , \: \: ou \: \: seja \\ \\ f(x+2a)= f(x)$

Provando que:

$f(x+2a)= f(x), \forall x \: \: \epsilon\: \: R$

• Att. MatiasHP