Question

Siimplifique
√18-√48+³√8-√50

Answer 1

Simplificando a expressão, temos:

$\large 2~. ~(-\sqrt{2}~ -~2\sqrt{3} ~+ ~ 1)$

→ Para simplificar uma raiz, em especial as não exatas, precisamos fatorar o radicando (o número que estamos extraindo a raiz) em números primos.

A partir agrupamos, os primos iguais, de acordo com o índice da raiz, ou seja:

. Para raiz quadrada ⇒ agrupamento de primos = Dois em dois;

. Para raiz cúbica ⇒ agrupamento de primos = Três em três.

⇒ Isso é feito para podermos "cortar" o índice da raiz com o expoente

Vamos, então, fatorar cada termo (veja na figura anexa, a fatoração de cada um):

$\large \text { \sqrt[2]{18}= \sqrt[2]{3^2 . 2} = \sqrt[\backslash\!\!\!2]{3^{\backslash\!\!\!2}} ~. ~ \sqrt[2]{2} = \boxed{3\sqrt[2]{2}} }$

$\large \text { \sqrt[2]{48}= \sqrt[2]{2^2 . 2^2.3} = \sqrt[2]{2^2 . 2^2.3} = \sqrt[\backslash\!\!\!2]{2^{\backslash\!\!\!2}} ~. ~\sqrt[\backslash\!\!\!2]{2^{\backslash\!\!\!2}} ~. ~\sqrt[2]{3} = 2~. ~2~. \sqrt[2]{3}~= \boxed{4\sqrt[2]{3} } }$

$\large \text { \sqrt[3]{8}= \sqrt[3]{2.2.2} = \sqrt[\backslash\!\!\!3]{2^{\backslash\!\!\!3}} = \boxed{2} }$

$\large \text { \sqrt[2]{50}= \sqrt[2]{2.5.5} = \sqrt[2]{2}~. ~\sqrt[\backslash\!\!\!2]{5^{\backslash\!\!\!2}} = \boxed{5\sqrt[2]{2} } }$

Agora ficou fácil, vamos substituir cada um conforme a expressão:

$\large \sqrt[2]{18}~ -~ \sqrt[2]{48} ~+ ~ \sqrt[3]{8}~- ~ \sqrt[2]{50}$

$\large 3\sqrt[2]{2}~ -~4\sqrt[2]{3} ~+ ~ 2~- ~ 5\sqrt[2]{2}$

Assim como uma variável qualquer, vamos "juntar" as raízes iguais:

$\large (3\sqrt[2]{2} - 5\sqrt[2]{2})~ -~4\sqrt[2]{3} ~+ ~ 2$

$\large -2\sqrt[2]{2} ~ -~4\sqrt[2]{3} ~+ ~ 2$

Toda vez que a raiz for 'quadrada", podemos ocultar o índice "2":

$\large -2\sqrt{2}~ -~4\sqrt{3} ~+ ~ 2$

Como o número 2 é divisor de cada termo, ainda podemos colocar em evidência:

$\large \text { \boxed{ 2~. ~(-\sqrt{2}~ -~2\sqrt{3} ~+ ~ 1)} }$

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