Question

Sete pessoas então em um grupo. Se cada uma delas trocar um aperto de mão com todos os demais, quantos apertos de mão teremos ao todo?
( Que estratégias poderíamos desenvolver para resolver este problema?)

Answer 1

Para resolver podemos usar o método de contagem, se baseia em:

$C^n_p=\dfrac{n!}{(n-p)!p!}$ -> Combinação de "n" elementos tomados de "p" a "p"

Neste caso n=7 e p=2(se uma pessoa A aperta a mão de B, é o mesmo que uma pessoa B apertar a mão de A)

$C^7_2=\dfrac{7!}{(7-2)!2!}=\dfrac{7\cdot 6 \cdot 5!}{5!2!}=\dfrac{7\cdot 6}{2}=\dfrac{42}{2}=21$

Ou seja, 21 apertos de mão.

Podemos provar isso de outra forma:

Temos que cada uma das 7 pessoas aperta a mao das outras 6, logo, teríamos 7x6=42 apertos de mão. Mas, por exemplo, se uma pessoas A aperta a mão de uma pessoa B é o mesmo que uma pessoa B apertar a mão de uma pessoa A, ou seja, estamos contando duas vezes um mesmo aperto de mão! logo, temos que dividir este resultado por dois: 42/2=21 apertos de mão

Answer 2

Mas não pode começar com 7 fatorial... Pois uma pessoa não vai apertar a própria mão..