Question

Sendo Z o número complexo abaixo, encontre o valor da sétima potência de Z.
Z = 2($cos\frac{\pi }{4} + isen\frac{\pi }{4}$)

a) $64\sqrt{2} + 64\sqrt{21}$
b) $32\sqrt{2} + 32\sqrt{2i}$
c) $32\sqrt{2} - 32\sqrt{2i}$
d) $64\sqrt{2} - 64\sqrt{2i}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Pela fórmula de Moivre:

$\sf Z^7=2^7\cdot\left[cos~\left(7\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)+i\cdot sen~\left(7\cdot\dfrac{\pi}{4}\right)\right]$

$\sf Z^7=128\cdot\left[cos~\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)+i\cdot sen~\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)\right]$

Temos que:

$\sf cos~\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=cos~\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\sf sen~\left(\dfrac{7\pi}{4}\right)=-sen~\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{-\sqrt{2}}{2}$

Assim:

$\sf Z^7=128\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-i\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$

$\sf Z^7=64\sqrt{2}-64\sqrt{2}i$

Letra D