Question

Sendo z = 1 + i√3, calcule z elevado 8

Answer 1

Olá, boa tarde ◉‿◉.

A questão quer saber quando vale z elevado a 8, que consequentemente corresponde a (1 + i√3) elevado a 8.

$\boxed{z = 1 + i \sqrt{3} \rightarrow z {}^{8} = (1 + i\sqrt{3} ) {}^{8} }$

Módulo:

Vamos começar calculando o módulo desse número complexo.

Temos que a parte real é igual a 1 e a parte imaginaria é igual a √3.

Substituindo:

$\rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{(1) {}^{2} + ( \sqrt{3}) {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{1 + 3} \\ \rho = \sqrt{4} \\ \boxed{\rho = 2}$

Argumento:

$\boxed{ \begin{cases}\sin( \theta) = \frac{ b}{ \rho} \\ \\ \cos( \theta) = \frac{a}{ \rho} \end{cases}}$

Substituindo:

$\sin( \theta) = \frac{ \sqrt{3} }{2} \\ \\ \cos( \theta) = \frac{1}{2}$

Pensando em um ângulo que possua o seno igual a √3/2 e o cosseno igual a 1/2, temos que esse ângulo é 60°, então a forma trigonométrica é:

$\boxed{ z = \rho ( \cos \theta + i. \sin \theta)} \\ \\ \begin{cases}z = 2.( \cos60 {}^{ \circ} + i. \sin60 {}^{ \circ} ) \\ ou \\ z = 2.( \cos \frac{\pi}{3} + i. \sin( \frac{\pi}{3} ) \end{cases}$

Jogando esse dado na primeira formula de Moivre:

$\boxed{z {}^{n} = \rho {}^{n} .( \cos( \theta.n) + i.\sin( \theta.n))}$

A questão quer saber z⁸, então vamos elevar z a 8, o que consequentemente corresponde ao "n".

$\begin{cases}z {}^{8} = (2) {}^{8} .( \cos(60 {}^{ \circ} .8 ) + i \sin(8. {60}^{ \circ} ) \\ z {}^{8} = 256.( \cos480 {}^{ \circ} + i \sin480 {}^{ \circ} ) \\ ou \\ z {}^{8} = 256.( \cos \frac{8\pi}{3} + i \sin \frac{8\pi}{3} )\end{cases} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️