Question

sendo y=A.cos X+ B.sen X, em que A e B são constantes positivas, obtenha o valor máximo de y.

Answer 1

O valor máximo de uma função é aquele onde sua derivada é nula, logo:

$\frac{dy}{dx}=0$

$\frac{d}{dx}(B\cdot \sin x)+\frac{d}{dx}(A\cdot \cos x)=0$

$B\cdot\frac{d}{dx}(\sin x)+A\cdot\frac{d}{dx}(\cos x)=0$

$B\cdot \cos x-A\cdot \sin x=0$

$B\cdot \cos x=A\cdot \sin x$

$\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{B}{A}$

$\tan x=\frac{B}{A}$

$x=\arctan\left(\frac{B}{A}\right)$

Substituindo $x$ na equação inicial:

$y_{max}=A\cdot\cos(\arctan(\frac{B}{A}))+B\cdot\sin(\arctan(\frac{B}{A}))$

Por propriedade trigonométrica, temos que, para um valor $u$, $\sin(\arctan(u))=u\cdot\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$ e $\cos(\arctan(u))=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$, logo:

$y_{max}=A\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{B}{A})^2}}+B\cdot\frac{B}{A}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{B}{A})^2}}$

$y_{max}=\frac{A}{\sqrt{\frac{A^2+B^2}{A^2}}}+\frac{1}{A}\cdot\frac{B^2}{\sqrt{\frac{A^2+B^2}{A^2}}}$

$y_{max}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot\sqrt{A^2}+\frac{1}{A}\cdot\frac{B^2}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot\sqrt{A^2}$

$y_{max}=\frac{A}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot A+\frac{1}{A}\cdot\frac{B^2}{\sqrt{A^2+B^2}}\cdot A$

$y_{max}=\frac{A^2}{\sqrt{A^2+B^2}}+\frac{B^2}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$y_{max}=\frac{A^2+B^2}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$y_{max}=\sqrt{A^2+B^2}$