Question

Sendo X um numero real, os números x + 1, x^2 e x + 3, nesta ordem, correspondem aos três primeiros termos de uma progressão aritmética.
A) Calcule os possíveis valores de x.
B) Obtenha o centésimo termo da progressão aritmética correspondente ao maior valor de x encontrado no item anterior.

Answer 1

 Em uma progressão aritmética um termo é igual a média aritmética dos outros dois dos seus lados, então nesse caso teremos:

$x^2=\dfrac{(x+1)+(x+3)}{2}$

 Agora basta resolver a equação que encontraremos para saber os possíveis valores de x:

$x^2=\dfrac{x+1+x+3}{2}\\\\x^2=\dfrac{2\cdot x+4}{2}\\\\x^2=x+2\\\\x^2-x-2=0\\\\(x+1)\cdot(x-2)=0$

 Nesse caso teremos que x tem que ser igual a -1 ou 2.

-x-

 Podemos utilizar a seguinte fórmula para descobrir o n-ésimo termo de uma progressão aritmética:

$A_n=A_1+(n-1)\cdot r$

• $A_n$ = n-ésimo termo;
• $A_1$ = primeiro termo;
• $n$ = posição do temo;
• $r$ = razão.

 A razão será igual a um termo menos o seu antecessor, por exemplo, o segundo menos o primeiro.

 A questão manda utilizar a progressão aritmética utilizando o maior valor para x, que nesse caso é 2, então vamos ter:

( 3, 4, 5)

 Podemos ver que a razão é 1 e seu primeiro termo é 3, então basta substituirmos na fórmula para descobrir o centésimo termo:

$A_{100}=A_1+(100-1)\cdot r\\A_{100}=3+99.1\\A_{100}=3+99\\A_{100}=102$

Dúvidas só perguntar!