Question

Sendo x e y números reais, cuja soma vale 6 e o produto vale 7, determine:
a) x² + y²
b) x³ + y³
As respostas são a) 22 e b) 90, preciso da conta

Answer 1

a)

Seja

x + y = 6

Elevando ao quadrado ambos os lados:

(x+ y)^2 = 6^2

(x + y)^2 = 36

Sabemos que:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Então:

Aplicando produtos notaveis...

x^2 + 2xy + y^2 = 36

x^2 + y^2 + 2xy = 36

Mas temos que xy = 7

x^2 + y^2 + 2×7 = 36

x^2 + y^2 = 36 - 14

x^2 + y^2 = 22
___________


b)

Esse irei resolver de uma maneira que daria pra ter aplicado desde o começo.

Achando o valor real de x e y.

Aplicando o sistema.

x + y = 6

xy = 7
______

Isolando x na segunda equação e substituindo na primeira.

y = 7/x
______

x + y = 6

x + (7/x) = 6

Multiplicando por x a equação:

x^2 + 7 = 6x

x^2 - 6x + 7 = 0

Resolvendo por basckara:

a = 1
b = -6
c = 7

Delta = b^2 - 4ac

Delta = (-6)^2 - 4×1×7

Delta = 36 - 28

Delta = 8

Delta = 4×2
_________

x = [ - b +/- Raiz(Delta) ]/2a

x = [ -(-6) +/- Raiz(4×2)]/2

x = [ 6 + /- 2Raiz(2) ]/2


x' = [ 6 - 2Raiz(2) ]/2 = 3 - Raiz(2)

x" = [ 6 + 2Raiz(2)]/2 = 3 + Raiz(2)
__________

Ou seja,

x = 3 - Raiz(2)
y = 3 + Raiz(2)
__________

Elevando ambos ao cubo.

x^3 + y^3 =

[3 - Raiz(2) ]^3 + [3 + Raiz(2) ]^3 =


Usando propriedade:

(a + b)^3 = a^3 + 3a^(2)b + 3ab^(2) + b^3

(a - b)^3 = a^3 - 3a^(2)b + 3ab^(3) - b^3
________________

3^3 -3×3^(2)×Raiz(2) +3×3×Raiz(2)^2- Raiz(2)^3

+ 3^3 + 3×3^(2)Raiz(2) + 3×3Raiz(2)^2 + Raiz(2)^3
________________


27 - 27Raiz(2) + 18 - Raiz(8) + 27 + 27Raiz(2) +
18 + Raiz(8)

27 + 27 + 18 + 18 -27Raiz(2) + 27Raiz(2) -Raiz(8) + Raiz(8)


54 + 36 + 0

= 90
________________

Obs:

No intem A)

Poderíamos ter utilizado essa formula.

Como queríamo x^2 + y^2.

Era só fazer:

x^2 + y^2 =

[ 3 - Raiz(2)]^2 + [3 + Raiz(2) ]^2 =

Depois aplicava a formula:

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
_____________€

3^2 -2×3×Raiz(2) + Raiz(2)^2 + 3^2 +

2×3×Raiz(2) + Raiz(2)^2 =


9 - 6Raiz(2) + 2 + 9 + 6Raiz(2) + 2 =


9 + 9 + 2 + 2 - 6Raiz(2) + 6Raiz(2) =

18 + 4 + 0 =

22