Question

Sendo x a incógnita, resolva a equação literal:

$\frac{x+a}{x-a} = \frac{x-a}{x+a} + \frac{4 a^{2} }{ x^{2} - a^{2} }$

x diferente de a e -a

Answer 1

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Resolver a equação literal na variável $\mathsf{x}:$

$\mathsf{\dfrac{x+a}{x-a}=\dfrac{x-a}{x+a}+\dfrac{4a^2}{x^2-a^2}}\qquad\textsf{(com }\mathsf{x\ne a~~e~~x\ne -a}\textsf{)}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x+a}{x-a}=\dfrac{x-a}{x+a}+\dfrac{4a^2}{(x-a)(x+a)}}$


Reduza todas as frações envolvidas ao mesmo denominador:

$\mathsf{\dfrac{(x+a)(x+a)}{(x-a)(x+a)}=\dfrac{(x-a)(x-a)}{(x-a)(x+a)}+\dfrac{4a^2}{(x-a)(x+a)}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x+a)^2}{(x-a)(x+a)}=\dfrac{(x-a)^2}{(x-a)(x+a)}+\dfrac{4a^2}{(x-a)(x+a)}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{(x+a)^2}{(x-a)(x+a)}=\dfrac{(x-a)^2+4a^2}{(x-a)(x+a)}}$


Igualando os numeradores:

$\mathsf{(x+a)^2=(x-a)^2+4a^2}\\\\ \mathsf{x^2+2ax+a^2=x^2-2ax+a^2+4a^2}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\!\! x^2+2ax+\diagdown\!\!\!\!\! a^2=\diagup\!\!\!\!\! x^2-2ax+\diagdown\!\!\!\!\! a^2+4a^2}\\\\ \mathsf{2ax=-2ax+4a^2}\\\\ \mathsf{2ax+2ax=4a^2}$

$\mathsf{4ax=4a^2}\\\\ \mathsf{ax=a^2}\\\\ \mathsf{ax-a^2=0}\\\\ \mathsf{a(x-a)=0}$

$\begin{array}{rcl} \mathsf{a=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x-a=0}\\\\ \mathsf{a=0}&~\textsf{ ou }~&\mathsf{x=a}\quad\textsf{(n\~ao serve)} \end{array}$


•  Para $\mathsf{a=0},$ a equação se reduz a

$\mathsf{\dfrac{x+0}{x-0}=\dfrac{x-0}{x+0}+\dfrac{4\cdot 0^2}{x^2-0^2}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{x}{x}=\dfrac{x}{x}}$


que é sempre verdadeira para qualquer $\mathsf{x\ne 0.}$

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Conclusão:

•   A equação dada só possui solução para $\mathsf{x}$ se

$\mathsf{a=0}$

e neste caso, o conjunto solução são todos os reais não-nulos:

$\mathsf{S=\mathbb{R}-\{0\}.}$


•   Mas caso $\mathsf{a\ne 0},$ a equação não possui solução para $\mathsf{x}.$


Bons estudos! :-)