Question

Sendo x = √3/2 e 0 < x < π/2 calcule y = secx-cos secx/1-cot gx
Opções:
a: -2
b: 1/2
c: -1/2
d: -√3/2
e: 2

Answer 1

Considerando  $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf \sin (x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{gathered} }$ com $\large\displaystyle\begin{gathered} x\in 1^{\circ} \end{gathered}$ quadrante , temos que os valores de $\large\displaystyle\begin{gathered} \cos(x) \end{gathered}$ e $\large\displaystyle\begin{gathered} \sin(x) \end{gathered}$ serão positivos, logo, vamos utilizar a identidade fundamental da trigonometria, que é dada da seguinte forma:

                        $\Large\setlength{\unitlength}{1cm}\begin{picture}(6,5)\put(0,0){\dashbox{0.1}(5,1){\\~~\sf \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 ~~~~~\\}}\end{picture}$

Substituindo o valor do seno dado pela questão, temos que:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2+\cos^2(x)=1 \end{gathered} }$

 $\large\displaystyle\begin{gathered} \sf \cos^2(x)=1 -\frac{3}{4}\end{gathered}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf \cos(x)=\pm \sqrt{\frac{1}{4}}\end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \boxed{\sf \cos(x)=\frac{1}{2}} \end{gathered} }$

Com isso, desejamos agora calcular o valor de y, que por sua vez é dado da seguinte forma:

  $\large\displaystyle\begin{gathered} \sf y= \frac{\sec(x)-\csc(x)}{1-\cot(x)} \end{gathered}$

Perceba que tudo aí pode ser escrito em função de seno e cosseno, sendo:

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \circ\ \ \sec(x)= \cos^{-1}(x)=\frac{1}{\cos(x)} \ \ \bullet\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \circ \ \ \csc(x)= \sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sin(x)} \ \ \bullet\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}\sf \circ\ \ \cot(x)= \tan^{-1}(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)} \ \ \bullet\end{gathered}$

Logo, y pode ser escrito da seguinte forma:

 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf y= \frac{\dfrac{1}{\cos(x)} -\dfrac{1}{\sin(x)} }{1-\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} } \end{gathered} }$

Que simplificando:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf y= \frac{2-\dfrac{2}{\sqrt{3}} }{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}} } \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf y= \dfrac{2\sqrt{3}-2}{\not{\sqrt{3}}}\cdot \dfrac{\not{\sqrt{3}}}{\sqrt{3}-1} \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf y= \dfrac{2\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-1} \end{gathered} }$

Colocando $\large\displaystyle\begin{gathered} \sf \sqrt{3}-1\end{gathered}$ em evidência, temos por fim que o valor de y é igual a:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sf y= \dfrac{2\cdot \not{\left(\sqrt{3}-1\right)}}{\not{\left(\sqrt{3}-1\right)}} \end{gathered} }$

$\large\displaystyle\begin{gathered} \therefore \ \boxed{\sf y=2} \Longrightarrow \ (E). \end{gathered}$

Qualquer dúvida quanto a resolução dada é só chamar!

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