Question

Sendo uma possível parametrização de um circulo de raio R, dada por x(t) = Rcoswt; y(t)= Rsenwt, calcule sua curvatura.

Answer 1

Resposta:

$k = \frac{1}{R}$

Explicação passo-a-passo:

Podemos obter a curvatura através da seguinte equação:

$k=\frac{(y'' x') - (y' x'')}{(x'^{2}+y'^{2})^\frac{3}{2}}$

Portanto, devemos proceder com as derivadas de $x(t)=Rcos(wt)$ e $y(t)=Rsen(wt)$:

$x'(t)=-Rwsen(wt)\\x''(t)=-Rw^{2}cos(wt)\\y'(t)= Rwcos(wt)\\y''(t)=-Rw^{2}sen(wt)$

Substituindo os resultados na equação, temos:

$k = \frac{[-Rw^{2}sen(wt)*-Rwsen(wt)] - [Rwcos(wt)*-Rw^{2}cos(wt)]}{[(-Rwsen(wt))^{2} + Rwcos(wt))^{2}]^\frac{3}{2} }$

Resolvendo as multiplicações no numerador e as potências do denominador:

$k = \frac{R^{2}w^3sen^2(wt)+R^2w^3cos^2(wt)}{[(R^{2}w^2sen^2(wt) + R^{2}w^2cos^2(wt)]^\frac{3}{2} }$

Pondo R e w em evidência:

$k = \frac{R^{2}w^3[sen^2(wt)+cos^2(wt)]}{[(R^{2}w^2[sen^2(wt)+cos^2(wt)]]^\frac{3}{2} }$

Utilizando a seguinte identidade trigonométrica $sen^2(t)+cos^2(t) = 1$, para qualquer $t$, temos:

$k = \frac{R^{2}w^3}{(R^{2}w^2)^\frac{3}{2} }$

Multiplicando as potências do denominador:

$k = \frac{R^{2}w^3}{R^{3}w^3}$

Logo,

$k = \frac{1}{R}$

Espero ter ajudado!

Abraço!