Question

sendo um triângulo abc com vértices a(2,3,1), b(2,1,-1) e c(2,2,-2), pode-se afirmar que o mesmo é um triângulo?

Answer 1

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Dados três pontos

$\mathsf{A(2,\,3,\,1),~~B(2,\,1,\,-1)~~e~~C(2,\,2,\,-2),}$


deseja-se saber se os pontos A, B e C formam de fato um triângulo.

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Há várias formas de se verificar isto. Uma delas é verificando o valor do seguinte determinante:

$\mathsf{D}=\begin{vmatrix} \mathsf{x_A}&\mathsf{y_A}&\mathsf{z_A}\\ \mathsf{x_B}&\mathsf{y_B}&\mathsf{z_B}\\ \mathsf{x_C}&\mathsf{y_C}&\mathsf{z_C} \end{vmatrix}$


Os pontos dados só formam um triângulo de fato, se o determinante acima for diferente de zero.

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Calculando o determinante para os pontos dados:

(usando a Regra de Sarrus)

$\mathsf{D}=\begin{vmatrix} \mathsf{2}&\mathsf{3}&\mathsf{1}\\ \mathsf{2}&\mathsf{1}&\mathsf{-1}\\ \mathsf{2}&\mathsf{2}&\mathsf{-2} \end{vmatrix}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{2\cdot 1\cdot (-2)+3\cdot (-1)\cdot 2+1\cdot 2\cdot 2}\\ &\mathsf{-2\cdot 1\cdot 1-2\cdot (-1)\cdot 2-(-2)\cdot 2\cdot 3} \end{array}\\\\\\ \begin{array}{rr} =&\mathsf{-4-6+4}\\ &\mathsf{-2+4+12} \end{array}$

$=\mathsf{-6+14}\\\\ =\mathsf{8\ne 0}\qquad\quad\checkmark$


Como o determinante é diferente de zero, então os pontos A, B e C formam sim um triângulo.


Bons estudos! :-)