Question

Sendo U=R, o conjunto verdade da equação $x^{4}-2a^{2} x^{2} -3a^{4} =0$ onde a>0, é?

Quero entender essa questão se alguém puder me explicar como se faz eu agradeço.

No gabarito aqui a resposta é { ${-a\sqrt{3}$,$a\sqrt{3} }$ }

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Vamos lá,

Esta é uma equação biquadrada, se considerarmos $x^2 =y$, podemos transformá-la numa equação do 2º grau, ou seja,

$x^{4}-2a^{2} x^{2} -3a^{4} =0 \\(x^2)^2 -2a^2 x^2 -3a^4 =0\\y^2 -2a^2y-3a^4 = 0$

Resolvendo a equação do 2º grau para y, temos:

$y = \frac{-(-2a^2)\pm\sqrt{(-2a^2)^2 -4.1.(-3a^4)} }{2.1}\\\\y = \frac{2a^2\pm\sqrt{4a^4 +12a^4} }{2}\\\\y = \frac{2a^2\pm\sqrt{16a^4} }{2} = \frac{2a^2\pm4a^2}{2}\\\\y_1 = \frac{2a^2-4a^2}{2}=\frac{-2a^2}{2}=-a^2\\y_2 = \frac{2a^2+4a^2}{2}=\frac{6a^2}{2}=3a^2$

Mas sabemos que  $x^2 =y$, logo temos duas situações:

1) $x^2 = y_1 =-a^2$ Impossível, pois um número ao quadrado não pode ser negativo, então descartamos $y_1$.

2)

$x^2 = y_2 = 3a^2\\x^2 = 3a^2\\x = \pm \sqrt{3a^2} \\x = \pm a\sqrt{3} \\\\\{-a\sqrt{3} ,a\sqrt{3} \}$

Espero ter ajudado!!!

Bons estudos!!!