Question

Sendo $V= \pi \int\limits^b_a(f(x) ^{2} - g(x) ^{2} )dx$, O volume do sólido obtido pela rotação da região y=2 e y=x³ em torno do eixo x, dentro do intervalo [0,1], é:

gabarito é $\frac{19}{5} \pi$

gostaria do cálculo

Answer 1

A função y = 2, é maior que y = x³ nesse intervalo fornecido.

Sendo assim, temos que o volume circular é dado por:

$\\ V = \pi R^2- \pi r^2 \\ \\ V = \pi ( R^2-r^2)$

Como seria o volume de apenas um circulo rotacionado.

V = ∑ π( R² -r²)

Onde, R = 2, e r = x³

$\\ V = \pi \int\limits^b_a {R^2-r^2} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^1_0 {2^2-(x^3)^2} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^1_0 {4-x^6} \, dx$

Utilizando integração por potência e por constante:

$\\ \int\limits {x^n} \, dx = \frac{x^n^+^1}{n+1} \\ \\ \int\limits {k} \, dx = kx$

Então,

$\\ V = \pi [4x- \frac{x^6^+^1}{6+1} ]|(0,1) \\ \\ V = \pi [4x - \frac{x^7}{7}] |(0,1) \\ \\ V = \pi [ 4(1) - \frac{1^7}{7} -0] \\ \\ V = \pi [ 4- \frac{1}{7} ] \\ \\ V = \frac{27 \pi }{7}$

Gabarito não atende o valor obtido!