Question

Sendo
$n$
um número natural, quando que
$n^{4} + 4$
é primo?​

Answer 1

Resposta:

1

Explicação passo-a-passo:

N⁴+4

0⁴+4=4 não é

1⁴+4=5 é primo

2⁴+4=20 não é

3⁴+4=85 não é

4⁴+4=260 não é

5⁴+4=629 não é

6⁴+4=1300 não é

7⁴+4=2405 não é

8⁴+4=4100 não é

9⁴+4=6565 não é

Ou seja apenas n igual a 1 fornecerá um número primo.

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Reescrevendo:

n⁴+4=

=(n²)²+2²=

Completando o quadrado perfeito:

=((n²)²+2*n²*2+2²)-(2*n²*2)=

=(n²+2)²-4n²=

=(n²+2)²-(2n)²=

Completando agora a diferença de quadrados:

=(n²+2)²-2n*(n²+2)*+2n*(n²+2)-(2n²)=

=((n²+2)+2n)*((n²+2)-2n)=

=(n²+2n+2)*(n²-2n+2)=

Como queremos simplificar a expressão, devemos encontrar novos quadrados perfeitos, para isso:

=(n²+2n+1+1)*(n²-2n+1+1)=

=((n²+2n+1)+1)*((n²-2n+1)+1)=

=((n+1)²+1)*((n-1)²+1)=

Logo, chegamos a igualdade:

n⁴+4=((n+1)²+1)*((n-1)²+1)

Assim, temos, pela definição de número primo, que ele é apenas divisível por 1 e por ele mesmo, ou seja, um primo k pode ser escrito com os fatores 1 e o próprio k (k=1*k). Do mesmo modo, temos que o primo n⁴+4=1*(n⁴+4), logo, temos que (n+1)²+1=1 ou (n-1)²+1=1

Testando a primeira opção:

(n+1)²+1=1

(n+1)²=0

n+1=0

n=-1, o que não atende as condições de n ser um natural.

A outra hipótese:

(n-1)²+1=1

(n-1)²=0

n-1=0

n=1

Logo, n⁴+1 é primo quando n=1, resultando em 5.