Question

Sendo $\frac{N}{ 7^{A} }$ igual a um número inteiro e N o produto dos 60 primeiros números inteiros a partir de 1, qual o maior valor inteiro de A?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
e) 13

Answer 1

É dado que:

$\dfrac{N}{7^A}\in\mathbb{Z}\\\\N=60!$

$7^A$ tem que ser divisor de $N$ para que $\dfrac{N}{7^A}$ seja inteiro.

Vamos identificar os múltiplos de 7 no intervalo de 1 a 60:

  $\{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56\}$

Notemos que $\{1\cdot7,\ 2\cdot7,\ 3\cdot7,\ 4\cdot7,\ 5\cdot7,\ 6\cdot7,\ 7\cdot7,\ 8\cdot7\}$.

Isso explicita que $7^9$ é fator de 60! e que o 7 fatora 60! 9 vezes.
Portanto, o maior valor de $A$ para que $\dfrac{N}{7^A}$ seja inteiro é $9$.