Question

Sendo sex x = -1/4. com $\pi \leq x \leq \frac{3 \pi }{2}$, determine tg x e sec x.

Answer 1

$x$ é um arco do terceiro quadrante, e

$\mathrm{sen\,}x=-\dfrac{1}{4}$


Utilizando a Relação Trigonométrica Fundamental, temos

$\cos^{2}x+\mathrm{sen^{2}\,}x=1\\ \\ \cos^{2}x=1-\mathrm{sen^{2}\,}x\\ \\ \cos^{2}x=1-\left(-\dfrac{1}{4} \right )^{2}\\ \\ \cos^{2}x=1-\dfrac{1}{16}\\ \\ \cos^{2}x=\dfrac{16-1}{16}\\ \\ \cos^{2}x=\dfrac{15}{16}\\ \\ \cos x=\pm \sqrt{\dfrac{15}{16}}\\ \\ \cos x=\pm \dfrac{\sqrt{15}}{4}$


Como $x$ é um arco do terceiro quadrante, o seu cosseno é negativo. Logo,

$\cos x=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$


$\bullet\;\;$ Encontrando a tangente de $x$:

$\mathrm{tg\,}x=\dfrac{\mathrm{sen\,}x}{\cos x}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{\left(-\frac{1}{4} \right )}{\left(-\frac{\sqrt{15}}{4} \right )}\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=-\dfrac{1}{\diagup\!\!\!\! 4}\cdot \left(-\dfrac{\diagup\!\!\!\! 4}{\sqrt{15}} \right)\\ \\ \\ \mathrm{tg\,}x=\dfrac{1}{\sqrt{15}}$


$\bullet\;\;$ Encontrando a secante de $x$:

$\sec x=\dfrac{1}{\cos x}\\ \\ \sec x=-\dfrac{4}{\sqrt{15}}$