Question

sendo senx=1/3 e o 0 <x <pi/2
calcular o valor de
$y = \frac{1}{ \csc(x ) + \cot(x) } + \frac{1}{ \csc(x) - \cot( x) }$
ajuda aeeee

Answer 1

Resposta:

y = 6

Explicação passo-a-passo:

Primeiramente vamos entender as seguintes relações abaixo.

$\star \boxed{Cossec \ x=\dfrac{1}{sen \ x}}\\\\\star \boxed{Sec \ x=\frac{1}{cos \ x}}\\\\\star \boxed{Cotg=\dfrac{cos \ x}{sen \ x }}\\\\\star\boxed{sen^{2}x+cos^{2}x=1}$

Agora devemos encontrar o valor de cos x com base na última relação.

$sen^{2}x+cos^{2}x=1\\\\\left (\dfrac{1}{3} \right )^2+cos^{2}x=1\\\\\dfrac{1}{9} + cos^{2}x=1\\\\\cos^{2}x=1 -\dfrac{1}{9}\\\\\cos^{2}x=\dfrac{8}{9}\\\\cos \ x =\pm\sqrt{\dfrac{8}{9} }\\\\\boxed{cos \ x =\pm\dfrac{2\sqrt{2} }{3}}$

Como 0 <x <pi/2  vamos adotar cos x = (2√2/3)

Determinando o  cot(x)...

$cot \ x =\dfrac{cos \ x}{sen \ x}\\\\cot \ x =\dfrac{ \dfrac{2\sqrt{2} }{3} }{\dfrac{1}{3} }\\\\ cot \ x=2\sqrt{2}$

Determinando o  csc(x)...

$csc \ x =\dfrac{1}{sen \ x}\\\\ csc \ x=\dfrac{1}{\left (\dfrac{1}{3}\right )}\\\\csc \ x = 3$

Com base nos cálculos realizados podemos substituir na expressão.

$y =\dfrac{1}{csc(x)+cot(x)} +\dfrac{1}{csc(x)-cot(x)}\\\\y =\dfrac{1}{3+2\sqrt{2} } +\dfrac{1}{3-2\sqrt{2} }\\\\y=(3-2\sqrt{2}) +(3+2\sqrt{2})\\\\\boxed{y=6}$

Bons Estudos :)