Question

Sendo que AB é uma corda da circunferência de centro C. Provar que se o raio CD é
perpendicular à corda AB, então E é ponto médio de AB.

Answer 1

RonnyMat,

De acordo com o enunciado, temos:

- AB, corda
- CD, raio, perpendicular à corda AB e determina sobre esta corda o ponto E
- devemos provar que o ponto E é ponto médio de AB

O raio AD determinou sobre a corda AB o ponto E, dividindo a corda AB em dois segmentos. Se provarmos que AE = EB, teremos provado que E é ponto médio de AB.
 
O ponto E sobre a corda AB criou dois triângulos:

AEC e BEC

Nestes triângulos temos:

- ângulos CEB e CEA iguais a 90º, pois CE é perpendicular a AB
- lado CE comum aos dois triângulos
- lados CA e CB congruentes, pois são raios da circunferência e, então, os dois triângulos são isósceles
- assim os ângulos da base são iguais (CAE = CBE)
- como a soma dos ângulos internos de um triângulo são iguais a 180º, os ângulos ACE e BCE também são iguais

Como consequência, os triângulos CEB e CEA são congruentes. Se os triângulos são congruentes, todos os seus lados são iguais e, então:

AE = EB e, então, E é ponto médio de AB