Question

Sendo p um inteiro maior que 1, na decomposição em fatores primos do numero p² o expoente do fator primo 2 é par ou impar?E na decomposição do numero 2p²?

Answer 1

Olá.

 

Para essa questão, podemos reescrever o quadrado de “p” como o produto de “p” com ele mesmo, ou seja:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{p^2=p\cdot p} \end{array}$

 

     - Detalhes importantes.

 

   Todo número ímpar pode ser escrito nas formas:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a'=2n-1,~~\forall~~n\in\mathbb{R}}\\\\ \mathsf{a''=2n+1,~~\forall~~n\in\mathbb{R}}\\\\ \end{array}$

 

   Todo número par pode ser escrito na forma:

 

$\Large\begin{array}{l} \mathsf{a=2n,~~\forall~~n\in\mathbb{R}} \end{array}$

 

No caso da nossa questão, para sabermos se o expoente será ímpar ou par, podemos analisar o resultado do produto de números compostos “ab” e “cb”.

 

   Para um número onde em sua composição há um expoente par, podemos supor que esse par é "b". Teremos:

 

$\Large\begin{array}{ll} \mathsf{p':~}&\mathsf{a\cdot b^{2n}\cdot a\cdot b^{2m}=}\\\\ \mathsf{p':~}&\mathsf{a^{1+1}\cdot b^{2n+2m}=}\\\\ \mathsf{p':~}&\mathsf{a^2\cdot b^{2(n+m)}} \end{array}$

 

Com isso, podemos afirmar que nesse caso o expoente será par.

 

    Para um número onde em sua composição há um expoente ímpar, podemos supor que esse ímpar é "d". Teremos:

 

$\Large\begin{array}{ll} \mathsf{p'':~}&\mathsf{c\cdot d^{2n-1}\cdot c\cdot d^{2m-1}}\\\\ \mathsf{p'':~}&\mathsf{c^{1+1}\cdot d^{(2n-1)+(2m-1)}}\\\\ \mathsf{p'':~}&\mathsf{c^2\cdot d^{2n-1+2m-1}}\\\\ \mathsf{p'':~}&\mathsf{c^2\cdot d^{2n+2m}}\\\\ \mathsf{p'':~}&\mathsf{c^2\cdot d^{2(n+m)}} \end{array}$

 

Com isso, podemos afirmar que nesse caso o expoente também será par.

 

$\textsf{--------------------}$

 

Para o caso de 2p², podemos afirmar que o expoente sempre será ímpar, pois o valor da soma de um número par (acima demonstramos que p² gera expoente par) com 1 resulta sempre em um ímpar.

 

      Resumo:

     $\Large\begin{array}{l} ~~~\mathsf{p^2=2}~\textsf{com expoente par;}\\\\ ~~~\mathsf{2p^2=}~\textsf{2~com~expoente~\'impar;} \end{array}$

 

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Bons estudos$.$