Question

-Sendo os pontos A(0,0), B(4,0) e C(0,3) os vértices de um triangulo retângulo. Determine M o ponto médio da hipotenusa. Prove que o ponto M é equidistante dos três vértices dotriangulo

Answer 1

Usando as definições de ponto médio de dois pontos, bem como a fórmula da distância entre dois pontos, obtém-se:

M da hipotenusa = Médio de [ BC ] = ( 2 ; 3/2 )

Distância MA ; MB ; MC = 2,5 u. c,

( gráfico anexo 1 )

O triângulo retângulo tem o vértice no ponto A ( 0 ; 0 ), porque ponto B  

está no eixo do x e o ponto C no eixo dos y.

BC = hipotenusa

As coordenadas do ponto médio M de [BC]  é dado pela fórmula:

$M_{BC} =(~\dfrac{x_{B}+x_{C} }{2} ~~{;}~~\dfrac{y_{B}+y_{C} }{2}~)$

Neste caso:

$M_{BC} =(~\dfrac{4+0}{2} ~~{;}~~\dfrac{0+3 }{2}~)~~=(~2~{;}~\dfrac{3}{2} ~)$

A distância entre dois pontos genéricos:

$A=(x_{A} ;y_{A})$       $B=(x_{B} ;y_{B})$ é dada pela fórmula:

$d_{AB} =\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+ (y_{B}-y_{A})^2}$

Nota → Os pontos A e B da fórmula não são os pontos A e B do exercício.

Apenas pontos genéricos.

Neste caso :

A ( 0 ; 0 )        B = ( 4 ; 0 )         C = ( 0 ; 3 )           M = ( 2 ; 3/2 )

$d_{MC} =\sqrt{(2-0)^2+ (\dfrac{3}{2} -3)^2}= \sqrt{4+ (\dfrac{3}{2} -\dfrac{6}{2} )^2}= \sqrt{4+ ( -\dfrac{3}{2} )^2}$

$= \sqrt{4+ \dfrac{9}{4} }=\sqrt{\dfrac{16}{4} + \dfrac{9}{4} }=\sqrt{\dfrac{25}{4} }=\dfrac{\sqrt{25} }{\sqrt{4} } =\dfrac{5}{2} =2{,}5$

   

$d_{MB} =\sqrt{(2-4)^2+ (\dfrac{3}{2} -0)^2}= \sqrt{4+ \dfrac{9}{4} }=2{,}5$

$d_{MA} =\sqrt{(2-0)^2+ (\dfrac{3}{2} -0)^2}= \sqrt{4+ \dfrac{9}{4} }=2{,}5$

Estes valores confirmam-se no gráfico em anexo 1, onde as distâncias

entre os pontos ali calculadas, são automaticamente dentro do programa usado.

Todas elas tinham o valor de 2,5 u.c.

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Bons estudos.

Att : Duarte Morgado

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( u. c. )  unidade de comprimento

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.