Question

Sendo n um número natural, quando que n4+4 é primo?

Answer 1

Vamos realizar algumas modificações na expressão n4 + 4, para colocá-la na forma de um produto.
Começaremos incluindo os termos +4n2 e -4n2, o que não muda em nada o resultado da expressão, pois a soma de ambos é zero. A partir daí podemos aplicar as regras de fatoração.
n4 + 4 =n4 + 4n2 + 4 - 4n2=(n2 + 2)2 - (2n)2   [diferença de dois quadrados]=((n2 + 2) + 2n) ((n2 + 2) - 2n)=(n2 + 2n + 2) (n2 - 2n + 2)Chegamos então a um produto, que só pode resultar em um número primo se um dos fatores for igual a 1.
O primeiro fator não satisfaz essa condição, pois claramente percebemos que n2 + 2n + 2 > 1, para n maior ou igual a 1.
Logo, devemos ter o segundo fator igual a 1, ou seja:n2 - 2n + 2 = 1 n2 - 2n + 1 = 0 (subtraindo 1 em ambos os lados)(n - 1)2 = 0 => n = 1
Quando n = 1, temos um número primo, pois n4 + 4 = 5. Portanto, esse é o único valor de n para o qual n4 + 4 é primo...