Question

Sendo log 2 = 0,30 e log 7 = 0,84. Qual o valor aproximado de log 28 na base 4?​

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

A questão quer saber o valor de Log 28 na base 4, mas note que os dados fornecidos estão na base (10), quando não aparece o valor da base quer dizer que a base é 10, enfim, teremos que mudar a base de 4 para 10.

Para isso vamos usar essa propriedade:

$\boxed{\log_{a}(b) = \frac{ \log_{c}(b) } { \log_{c}(a) }}$

Aplicando:

$\Large\log_{4}(28) = \frac{ \log_{10}(28) }{ \log_{10}(4) }$

Eu coloquei a base 10, mas não é necessário, pois ela é implícita o que quer dizer que tanto faz colocar ou não que sabemos que ela está lá.

Tendo feito a mudança de base, vamos partir para a fatoração dos números 28 e 4:

$\begin{array}{r|c}28&2 \\ 14&2 \\ 7&7 \\ 1\end{array} \rightarrow \boxed{ 2 {}^{2} .7} \\ \\ \begin{array}{r|c}4&2 \\ 2&2 \\ 1\end{array} \rightarrow \boxed{ 2 {}^{2} }$

Com esses novos valores, podemos substituí-los nos seus respectivos locais:

$\frac{ \log(28) }{ \log(4) } = \frac{ \log(2 {}^{2} .7) }{ \log(2 {}^{2} ) }$

Aplicando a propriedade de transformar um produto em uma soma:

$\boxed{\log{a}(b.c) = \log{a}(b) + \log{a}(c)} \\ \\\frac{ \log(2 {}^{2}.7 ) }{ \log(2 {}^{2} ) } = \frac{ \log(2 {}^{2} ) + \log(7) }{ \log(2 {}^{2} ) }$

Aplicando a propriedade do peteleco:

$\boxed{\log{a}(b^{n}) = n.\log{a}(b)} \\ \\\frac{ \log( {2}^{2} ) + \log(7) }{ \log( {2}^{2} ) } = \frac{2. \log(2) + \log(7) }{2. \log(2) }$

Para finalizar é só substituir os valores fornecidos pela questão.

$\frac{2. \log(2) + \log(7) }{2. \log(2) } = \frac{2.0,30 + 0 ,84}{2. 0,30} \\ \\ \frac{0,60 + 0,84}{2. 0,30} = \frac{1,44 }{0,60} = \boxed{2,4} \leftarrow resposta$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️