Question

Sendo I a matriz identidade de ordem 2 e a Matriz A = $<var>\left[\begin{array}{ccc}x&y\\x&-y\\\end{array}\right]</var>$ determine k,x,y tais que A+I=K*A^T, sabendo que k é uma constante real.

Como vou descobrir K ? =s para depois descobrir x e y ?

 

R: K=-1,x=1/2,y=1/2 

Answer 1

$I_{2}=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$A^{T}=\left[\begin{array}{cc}x&x\\y&-y\end{array}\right]$

______________________

$A+I=k*A^{T}\\\\\left[\begin{array}{cc}x&y\\x&-y\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]=k*\left[\begin{array}{cc}x&x\\y&-y\end{array}\right] \\\\\left[\begin{array}{cc}x+1&y\\x&1-k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}kx&kx\\ky&-ky\end{array}\right]$

Temos um sistema de 4 equações:

$x+1=kx\\y=kx\\x=ky\\1-y=-ky$
______________________

$y=kx\\k=y/x$

$x=ky\\k=x/y$

Como k = k:

$k=k\\y/x=x/y\\x*x=y*y\\x^{2}=y^{2}\\\sqrt{x^{2}}=\pm\sqrt{y^{2}}\\x=\pm~y$

Testando x = y:

$y=kx\\y=ky\\k=y/y\\k=1$

$x+1=kx\\x+1=1.x\\x+1=x\\1\neq 0$

k = 1 não serve.

Testando x = - y:

$y=kx\\y=k(-y)\\k=y/(-y)\\k=-1$

$x+1=kx\\x+1=(-1)x\\x+1=-x\\x+x=1\\2x=-1\\x=-1/2$

$x=-y\\-1/2=-y\\1/2=y$
_____________________________

Vendo se os valores de k, x e y satisfazem todas as equações:

$x+1=kx\\(-1/2)+1=(-1)*(-1/2)\\(-1+2)/2=1/2\\1/2=1/2$

$y=kx\\1/2=(-1)*(-1/2)\\1/2=1/2$

$x=ky\\-1/2=(-1)*(1/2)\\-1/2=-1/2$

$1-y=-ky\\1-(1/2)=-(-1)*(1/2)\\(2-1)/2=1/2\\1/2=1/2$

Sim, esses valores satisfazem todas as equações, logo a solução é:

$k=-1\\x=-1/2\\y=1/2$