Question

Sendo f(x) =x^4+2x³-12x²+5x-1,podemos afirmar que:
f é côncava para baixo nos intervalos e côncava para cima no intervalo .

f é côncava para cima nos intervalos e e côncava para baixo no intervalo (-2,1).

f é côncava para cima no intervalo e côncava para baixo no intervalo .

f é côncava para baixo nos intervalos e e côncava para cima no intervalo (-2,1).

f é côncava para cima no intervalo e côncava para baixo no intervalo .

Answer 1

A segunda derivada de uma função nos diz como se comporta a concavidade

f'' > 0 ---> Concavidade para cima
f'' < 0 ---> Concavidade para baixo
______________________

Derivando a função:

$f'(x)=4\cdot x^{4-1}+3\cdot2x^{3-1}-2\cdot12x^{2-1}+1\cdot5x^{1-1}-0\\f'(x)=4x^{3}+6x^{2}-24x+5$

Derivando f'(x):

$(f'(x))'=3\cdot4x^{3-1}+2\cdot6x^{2-1}-1\cdot24x^{1-1}+0\\f''(x)=12x^{2}+12x-24\\f''(x)=12\cdot(x^{2}+x-2)$

Para verificar onde f'' é positiva ou negativa, vamos estudar o sinal de f''(x)

Raízes de f''(x): -2 e 1 (fáceis de encontrar)

f''(x) é uma equação quadrática com a > 0 (coeficiente de x²), então f''(x) é negativa apenas para x entre as raízes, e positiva para o resto.

Portanto:

$f''(x)\ \textless \ 0~~~~se~\{x\in\mathbb{R}~/~-2\ \textless \ x\ \textless \ 1\}\\f''(x)\ \textgreater \ 0~~~~se~\{x\in\mathbb{R}~/~x\ \textless \ -2~~\ou~~x\ \textgreater \ 1\}$

Como f é concava para baixo quando f'' < 0 e para cima quando f'' > 0:

f é concava para baixo em para valores de x do intervalo (-2,1)

e:

f é concava para cima para valores de x dos intervalos (-∞,-2) e (1,∞)