Question

Sendo f(x) =x^3 e^-3x, determine a derivada segunda f"(x)

Answer 1

Observe que a função f é o resultado da multiplicação de outras duas funções: x³ e $e^{-3x}$.

Sendo assim, para derivar a função f, precisaremos utilizar a Regra do Produto:

(u.v)' = u'.v +  u.v'

Deriva a primeira função vezes a segunda função mais repete a primeira função e multiplica pela derivada da segunda função.

Então, temos que:

$f'(x) = (x^3)'.e^{-3x} + x^3.(e^{-3x})'$

$f'(x) = 3x^2.e^{-3x} + x^3.(-3)e^{-3x}$

$f'(x) = 3x^2.e^{-3x} - 3x^3.e^{-3x}$.

Como queremos a segunda derivada, então:

$f''(x) = 6x.e^{-3x} - 9x^2.e^{-3x} - 9x^2.e^{-3x} +9x^3.e^{-3x}$

$f''(x) = 9x^3.e^{-3x}-18x^2.e^{-3x} + 6x.e^{-3x}$