Question

Sendo f(x)=ax+b, para quais valores de a e b tem-se (fof)(x)=x-3?

Answer 1

(fof)(x) é a mesma coisa que f(f(x)).

Portanto:

f(f(x)) = a(ax+b) + b
f(f(x)) = a²x + ab + b

a²x deve ser igual a x.

Então temos que a:

a = {1 ; -1}

E para b:

a.b + b = -3

Substituindo as duas soluções de a:

1.b + b = -3
b = -3/2

-1.b + b = -3
b = 0
0 = -3

Falso.

Soluções:

a = {1}
b = {-3/2}

Answer 2

$fof(x) = f(f(x)) = a(ax + b) + b = \\ = {a}^{2} x + ab + b$

Devemos ter:

$fof(x) = x - 3$

ou seja,


${a}^{2} x + ab+ b = x - 3$

Daí,

${a}^{2} = 1 \\ a = 1 \: ou \: a = - 1$


Para a = 1, temos:


$1b + b = - 3 \\ 2b = - 3 \\ b = - \frac{3}{2}$


Para a = - 1:

$- 1b + b = - 3 \\ 0 = - 3$


Isso é impossível.


Logo, a = 1 e b = - 3/2.