Question

Mostre as retas r:5x-y-4=0 e s:2x+y-3=0 são concorrentes e determine o ponto comum a ambas.

Answer 1

Como são retas no mesmo plano (não possuem componente z), para provar que são concorrentes basta não serem paralelas. Para isso, temos que calcular os coeficientes angulares de ambas as retas.

Lembrando que a equação reduzida de uma reta de coeficiente angular m e coeficiente linear n é dada por:

$y=mx+n$

Devemos escrever então, as equações na forma reduzida de ambas as retas. Logo:

$r:y=5x-4$

$s:y=3-2x$

Assim temos que:

$m_r=5$

$m_s=-2$

Como $m_r\neq m_s$ as retas são concorrentes.

Para encontrar o ponto comum entre as retas temos que resolver o seguinte sistema linear:

$\begin{cases} 5x-y-4=0\\2x+y-3=0\end{cases}$

Isolando y da primeira equação e substituindo na segunda, temos:

$2x+(5x-4)-3=0\Rightarrow 7x-7=0\Rightarrow x=1$

Voltando na primeira equação:

$5-y-4=0\Rightarrow y=1$

Logo o ponto comum entre as retas é o ponto (1, 1)

Espero ter ajudado!

Answer 2

Isolando y em r:

5x - y - 4 = 0

y = 5x - 4

Coeficiente angular = 5

Isolando y em s:

2x + y - 3 = 0

y = -2x + 3

Coeficiente angular = -2

Como os coeficientes angulares não são iguais, as retas são concorrentes.

Igualando y = y vem:

5x - 4 = -2x + 3

5x + 2x = 3 + 4

7x = 7

x = 1

Substituindo x=1 em qualquer uma das equações que contêm y (você escolhe) vem:

y = 5x - 4 = 5*1 - 4 = 5 - 4 = 1

y = 1

Ponto de cruzamento (comum) = (1,1)