Question

Sendo f uma variável real tal que f(x) = k.(3-x) + 3x + 1, determine k para que f seja crescente.

Answer 1

$f(x)=k\cdot(3-x)+3x+1\\\\f(x)=3k-kx+3x+1\\\\f(x)=3x-kx+3k+1\\\\f(x)=(3-x)k+(3x+1)$

Para que essa função seja crescente, sua derivada deve ser maior que zero para todo x pertencente ao domínio

Logo:

$f'(x)~\textgreater~0\\\\\frac{d}{dx}[(3-k)x]+\frac{d}{dx}[3k+1]~\textgreater~0$

(3 - k) é uma constante, assim como (3k + 1).

Como $\dfrac{d}{dx}cf(x)=cf'(x)~~e~~\dfrac{d}{dx}c=0$, temos

$\dfrac{d}{dx}(3-k)x=(3-k)\dfrac{d}{dx}x=(3-k)\cdot1=3-k\\\\\\\dfrac{d}{dx}(3k+1)=0$

Portanto:

$f'(x)=3-k$

Queremos que f'(x) seja maior que zero:

$f'(x)~\textgreater~0\\\\3-k~\textgreater~0\\\\-k~\textgreater-3$

Multiplicando os dois lados por (-1) e invertendo o sinal de desigualdade:

$\boxed{\boxed{k~\textless~3}}$

Qualquer k real menor que 3 fará com que f seja crescente.