Question

1)Se -2 é raiz do polinômio f = 2x³ x² - 8x - 4, então a forma fatorada de f é:

2) No unverso dos complexos, qual será a solução da equação |1-x 2 0|
                                                                                            | 1 5 3  |
                                                                                            |x-1 1 x|

3) Na divisão de um polinômio f por (x-2)², obtêm-se quociente x+1 e resto 1-2x. O resto da divisão de f por x+1 é ?

Answer 1

1) Se $-2$ é raiz do polinômio $f(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4$, então o resto da divisão de $f(x)$ por $(x-(-2))$ é igual a zero. Logo, podemos fatorar $f(x),$ onde $(x-2)$ é um dos fatores:

$f(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4\\ \\ f(x)=(2x^{3}-4x^{2})+4x^{2}+x^{2}-8x-4\\ \\ f(x)=2x^{2}(x-2)+5x^{2}-8x-4\\ \\ f(x)=2x^{2}(x-2)+(5x^{2}-10x)+10x-8x-4\\ \\ f(x)=2x^{2}(x-2)+5x(x-2)+2x-4\\ \\ f(x)=2x^{2}(x-2)+5x(x-2)+2(x-2)\\ \\ f(x)=(x-2)\,(2x^{2}+5x+2)$


Vamos fatorar o termo $2x^{2}+5x+2:$

$2x^{2}+5x+2\\ \\ 2x^{2}+4x+x+2\\ \\ =(2x^{2}+4x)+(x+2)\\ \\ =2x(x+2)+1(x+2)\\ \\ =(x+2)\,(2x+1)$


Então,

$f(x)=(x-2)\,(x+2)\,(2x+1)$

2) (A equação está incompleta, pois não tem sinal de igualdade.)

3) Um polinômio $p(x)$ ao ser dividido por $(x-2)^{2},$ quociente $x+1$ e resto $1-2x.$ Então, podemos escrever

$p(x)=(x-2)^{2}\cdot \overbrace{q(x)}^{\text{quociente}}+\overbrace{r(x)}^{\text{resto}}\\ \\ p(x)=(x-2)^{2}\cdot(x+1)+(1-2x)$


Queremos dividir $p(x)$ por $x+1$ e verificar o resto. Então,

$p(x)=(x-2)^{2}\cdot(x+1)+(1-2x)\\ \\ p(x)=(x+1)\cdot (x-2)^{2}-2x+1\\ \\ p(x)=(x+1)\cdot (x-2)^{2}+(-2x-2)+2+1\\ \\ p(x)=(x+1)\cdot (x-2)^{2}-2(x+1)+3\\ \\ p(x)=(x+1)\cdot \underbrace{[(x-2)^{2}-2]}_{\text{quociente}}+\underbrace{3}_{\text{resto}}$


O resto é $3.$