Question

Sendo f uma função real tal que f ((3x)/(x-2)) = 4x-3, determine:

a) f(5)
b) f(x)
c) f(x^2)

Answer 1

Explicação passo a passo:

Esse exercício é sobre funções compostas.

Temos uma função real $f,$ tal que

    $f\!\left(\dfrac{3x}{x-2}\right)=4x-3$

Seja $g$ uma função definida conforme abaixo:

    $\begin{array}{ccll}g:&\mathbb{R}\backslash\{2\}&\!\!\! \to \!\!\!&\mathbb{R}\\\\ &x&\!\!\!\mapsto\!\!\!& g(x)=\dfrac{3x}{x-2} \end{array}$

Então, temos

    $f\!\left(\dfrac{3x}{x-2}\right)=f\big(g(x)\big)=f\circ g(x)\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad f\circ g(x)=4x-3$

a) Para calcular $f(5),$ devemos encontrar $x$ único, tal que $g(x)=5:$

    $g(x)=5\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{3x}{x-2}=5\\\\\\ \Longrightarrow\quad 3x=5(x-2)\\\\ 3x=5(x-2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3x=5x-10\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3x-5x=-10\\\\ \Longleftrightarrow\quad -2x=-10\\\\\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-10}{-2}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=5$

Portanto, para $x=5,$ temos

    $g(5)=5$

logo,

    $f(5)=f\circ g(5)=4\cdot 5-3=17.$

b) Podemos generalizar o resultado da alínea anterior, fazendo $g(x)=t:$

    $g(x)=t\\\\ \Longleftrightarrow\quad \dfrac{3x}{x-2}=t\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3x=t(x-2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3x=tx-2t\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3x-tx=-2t\\\\ \Longleftrightarrow\quad x(3-t)=-2t$

Para $t\ne 3,$ temos

    $\Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{-2t}{3-t}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=\dfrac{2t}{t-3}$

Logo,

    $f(g(x))=4x-3\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(t)=4\cdot \left(\dfrac{2t}{t-3}\right)-3\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(t)=\dfrac{8t}{t-3}-\dfrac{3(t-3)}{t-3}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(t)=\dfrac{8t-3t+9}{t-3}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad f(t)=\dfrac{5t+9}{t-3},\qquad\mathrm{com~}t\ne 3$

Substituindo t por x, temos então

    $\Longleftrightarrow\quad f(x)=\dfrac{5x+9}{x-3},\qquad\mathrm{com~}x\ne 3.$

c) Aqui basta substituir x por x²:

    $\Longrightarrow\quad f(x^2)=\dfrac{5x^2+9}{x^2-3},\qquad\mathrm{com~}x^2\ne 3.$

Bons estudos!