Question

Sendo f :R →R uma função definida porf (x) = 0 se x é ímpar e por f (x) = 4x se x é par,então f (1) + f (2) + f (3) +⋯+ f (501) vale:  Observação: Mostrar Cálculo
(a) 127500.
(b) 240000.
(c) 167500.
(d) 251000.
(e) 220000.
(f) I.R.

Answer 1

Pelo enunciado,

$f(1)=f(3)=f(5)=\dots+f(501)=0$

Logo,

$f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(501)=f(2)+f(4)+f(6)+\dots+f(500)$.

Note que:

$f(2)=8$

$f(4)=16$

$f(6)=24$

Esses números formam uma PA de razão 8. Temos que:

$a_n=4\cdot500=2~000$

Veja que, $2=2\cdot1$ e $500=2\cdot250$, assim, há $250-1+1=250$ números pares entre 2 e 500 inclusive.

Isto significa que a PA que estamos considerando possui 250 termos.

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)n}{2}$

$S_{250}=\dfrac{(8+2000)\cdot250}{2}=2008\cdot125=251~000$

Logo,

$f(1)+f(2)+f(3)+\dots+f(501)=251~000$.

Letra D