Question

Sendo α e β ângulos agudos, determine o menor valor de α + 2β, sabendo que 3sen²α + 2sen²β = 1 e 3sen2α - 2sen2β = 0

Answer 1

Resposta: x + 2y = pi/2 = 90°

Explicação passo-a-passo:

Fiz de dois jeitos distintos, porém vou postar de um só modo. Chamaremos alfa de x e beta de y, de modo a simplificar a escrita ao longo da resolução. Segue a resolução do exercício:

3sen²(x) + 2sen²(y) = 1 =>

3sen²(x) = 1 - 2sen²(y) (i)

e

3sen(2x) - 2sen(2y) = 0 (ii)

De (ii), obteremos:

3[2sen(x)cos(x)] - 2[2sen(y)cos(y)] = 0 =>

2[3sen(x)cos(x)] - 2[2sen(y)cos(y)] = 0 =>

3sen(x)cos(x) = 2sen(y)cos(y) =>

9sen²(x)cos²(x) = 4sen²(y)cos²(y) =>

9sen²(x)[1 - sen²(x)] = 4sen²(y)[1 - sen²(y)] =>

9sen²(x) - 9[sen²(x)]² = 4sen²(y)[1 - sen²(y)] =>

3[3sen²(x)] - [3sen²(x)]² = 4sen²(y)[1 - sen²(y)] (iii)

Substituindo (i) em (iii), temos:

3[1 - 2sen²(y)] - [1 - 2sen²(y)]² = 4sen²(y)[1 - sen²(y)]

* Fazendo sen²(y) = k > 0

3(1 - 2k) - (1 - 2k)² = 4k(1 - k) =>

(1 - 2k)[3 - (1 - 2k)] = 4k - 4k² =>

(1 - 2k)[2 + 2k] = 2(2k - 2k²) =>

2(1 - 2k)(1 + k) = 2(2k - 2k²) =>

1 + k - 2k - 2k² = 2k - 2k² =>

1 + k - 2k = 2k =>

1 - k = 2k =>

1 = 2k + k =>

3k = 1 =>

k = 1/3

Logo:

sen²(y) = 1/3 e 0 < y < pi/2 =>

sen(y) = raiz de(3)/3

cos²(y) = 2/3 e 0 < y < pi/2 =>

cos(y) = raiz de(2)/raiz de(3)

tg²(y) = 1/2

sen²(x) = 1/9 e 0 < x < pi/2 =>

sen(x) = 1/3

cos²(x) = 8/9 e 0 < x < pi/2 =>

cos(x) = 2raiz de(2)/3

tg²(x) = 1/8

Acarretando um único valor para x e também um só para y, logo existe um único valor para x + 2y. Sabe-se que 0 < x < pi/2 e 0 < y < pi/2, o que acarreta 0 < x < pi/2 e 0 < 2y < pi. Logo, 0 < x + 2y < 3pi/2. Vamos calcular o cosseno de (x + 2y), na tentativa de encontrar o seu valor. Com isso:

cos(x + 2y) = cos(x)cos(2y) - sen(x)sen(2y) = 0 =>

cos(x + 2y) = 0 e 0 < x + 2y < 3pi/2 =>

x + 2y = pi/2 = 90°

Abraços!