Sendo α e β ângulos agudos, determine o menor valor de α + 2β, sabendo que 3sen²α + 2sen²β = 1 e 3sen2α - 2sen2β = 0
Soluções para a tarefa
Resposta: x + 2y = pi/2 = 90°
Explicação passo-a-passo:
Fiz de dois jeitos distintos, porém vou postar de um só modo. Chamaremos alfa de x e beta de y, de modo a simplificar a escrita ao longo da resolução. Segue a resolução do exercício:
3sen²(x) + 2sen²(y) = 1 =>
3sen²(x) = 1 - 2sen²(y) (i)
e
3sen(2x) - 2sen(2y) = 0 (ii)
De (ii), obteremos:
3[2sen(x)cos(x)] - 2[2sen(y)cos(y)] = 0 =>
2[3sen(x)cos(x)] - 2[2sen(y)cos(y)] = 0 =>
3sen(x)cos(x) = 2sen(y)cos(y) =>
9sen²(x)cos²(x) = 4sen²(y)cos²(y) =>
9sen²(x)[1 - sen²(x)] = 4sen²(y)[1 - sen²(y)] =>
9sen²(x) - 9[sen²(x)]² = 4sen²(y)[1 - sen²(y)] =>
3[3sen²(x)] - [3sen²(x)]² = 4sen²(y)[1 - sen²(y)] (iii)
Substituindo (i) em (iii), temos:
3[1 - 2sen²(y)] - [1 - 2sen²(y)]² = 4sen²(y)[1 - sen²(y)]
* Fazendo sen²(y) = k > 0
3(1 - 2k) - (1 - 2k)² = 4k(1 - k) =>
(1 - 2k)[3 - (1 - 2k)] = 4k - 4k² =>
(1 - 2k)[2 + 2k] = 2(2k - 2k²) =>
2(1 - 2k)(1 + k) = 2(2k - 2k²) =>
1 + k - 2k - 2k² = 2k - 2k² =>
1 + k - 2k = 2k =>
1 - k = 2k =>
1 = 2k + k =>
3k = 1 =>
k = 1/3
Logo:
sen²(y) = 1/3 e 0 < y < pi/2 =>
sen(y) = raiz de(3)/3
cos²(y) = 2/3 e 0 < y < pi/2 =>
cos(y) = raiz de(2)/raiz de(3)
tg²(y) = 1/2
sen²(x) = 1/9 e 0 < x < pi/2 =>
sen(x) = 1/3
cos²(x) = 8/9 e 0 < x < pi/2 =>
cos(x) = 2raiz de(2)/3
tg²(x) = 1/8
Acarretando um único valor para x e também um só para y, logo existe um único valor para x + 2y. Sabe-se que 0 < x < pi/2 e 0 < y < pi/2, o que acarreta 0 < x < pi/2 e 0 < 2y < pi. Logo, 0 < x + 2y < 3pi/2. Vamos calcular o cosseno de (x + 2y), na tentativa de encontrar o seu valor. Com isso:
cos(x + 2y) = cos(x)cos(2y) - sen(x)sen(2y) = 0 =>
cos(x + 2y) = 0 e 0 < x + 2y < 3pi/2 =>
x + 2y = pi/2 = 90°
Abraços!