Question

Sendo cos x = 1/3, o valor da tg x é?

a) 2√2
b) (2√2)/3
c) 2√3
d) (√2)/4
e) 3√3​

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

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O valor de tg(x) é igual a 2√2, alternativa A do problema.

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Identidades trigonométricas utilizadas para resolver essa tarefa:

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{sin^2(x)+cos^2(x)=1}}}}}}~;~\large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{tg(x)=\dfrac{sin(x)}{cos(x)}}}}}}}~\checkmark~$

Começamos usando a identidade fundamental da trigonometria, a qual foi mostrada acima:

$\sf{sin^2(x)+cos^2(x)=1}~\to~\sf{cos(x)=\dfrac{1}{3}}\\ \\ \sf{sin^2(x)+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=1}\\ \\ \\ \sf{sin^2(x)+\left(\dfrac{1}{9}\right)=1}\\ \\ \\ \sf{sin^2(x)=1-\left(\dfrac{1}{9}\right)}~\to~\sf{Tira~o~MMC:}\\ \\ \\ \sf{sin^2(x)=\left(\dfrac{9-1}{9}\right)}\\ \\ \\ \sf{sin^2(x)=\left(\dfrac{8}{9}\right)}$

Agora que temos o valor do sin²(x), podemos encontrar o valor de sin(x), aplicando a raiz quadrada em ambos os lados da equação:

$\sf{sin^2(x)=\left(\dfrac{8}{9}\right)}\\ \\ \\ \sf{sin(x)=\pm\ \sqrt{\dfrac{\sf{8}}{\sf{9}}}}\\ \\ \\ \sf{sin(x)=\pm\;\dfrac{\sqrt{8}}{3}}~\to~\sf{Fatore~o~8~da~raiz~quadrada:}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{sin(x)=\pm\;\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}}}~\checkmark~$

Como a questão não especificou, adotarei que o seno esteja no segundo quadrante, ou seja: π/2 < x < π

OBS : Para o segundo quadrante, o seno possui valor positivo, ou seja, pegaremos o valor positivo [(2√2)/3].

Com o valor do seno em mãos, podemos encontrar o valor da tg(x), através da identidade destacada no início da questão:

$\sf{tg(x)=\dfrac{sin(x)}{cos(x)}~\to~\sf{sin(x)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}~;~cos(x)=\dfrac{1}{3}}} \\ \\ \\ \sf{tg(x)=\dfrac{\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{\dfrac{1}{3}}~\to~ \sf{tg(x)=\dfrac{2\sqrt{2}}{\diagup\!\!\!\!3}}\cdot \sf{\dfrac{\diagup\!\!\!\!3}{1}}}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{tg(x)=2\sqrt{2}}}}}}}~\checkmark~$

Ou seja, descobrimos que tg(x) vale 2√2 e que a alternativa A é a correta!

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!