Question

Sendo (an) uma PA de termos positivos e de razão $r \ne0$ demonstre que:

$\frac{1}{ \ \sqrt{a} _{1} + \sqrt{ a_{2}} } + \frac{1}{ \ \sqrt{a} _{2} + \sqrt{ a_{3}} } + ... + \frac{1}{ \ \sqrt{a} _{n - 1} + \sqrt{ a_{n}} } = \frac{n - 1}{ \ \sqrt{a} _{1} + \sqrt{ a_{n}} }$

#Cálculo e explicação

Answer 1

Olá!

Queremos calcular a seguinte soma:

$\displaystyle S = \sum_{k=0}^{n-1}\underbrace{\dfrac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}}_{b_k}$

Em geral, o método utilizado para esse tipo de questão é a obtenção de uma soma telescópica, de modo que o resultado final é mais facilmente alcançado.

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Uma soma telescópica é uma soma da forma $\displaystyle s=\sum_{k=1}^n(c_{k+1}-c_{k})$, isto é, que apresenta uma diferença entre termos consecutivos. Seu cálculo é simples quando se observa o cancelamento de termos:

$s=(c_2\!\!\!\!\!\diagup-c_1)+(c_3\!\!\!\!\!\diagup-c_2\!\!\!\!\!\diagup)+...+(c_{n-1}\!\!\!\!\!\!\!\diagup-c_{n-2}\!\!\!\!\!\!\!\diagup\,)+(c_n-c_{n-1}\!\!\!\!\!\!\diagup\,)\\\\ \boxed{s=c_n-c_1}$

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Seja $b_k$ o termo geral do somatório acima. Vamos desenvolvê-lo racionalizando o denominador:

$b_k=\dfrac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}\\\\\\ b_k=\dfrac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}\times\dfrac{\sqrt{a_{k}}-\sqrt{a_{k+1}}}{\sqrt{a_{k}}-\sqrt{a_{k+1}}}\\\\\\ b_k=\dfrac{\sqrt{a_{k}}-\sqrt{a_{k+1}}}{(\sqrt{a_{k}})^2-(\sqrt{a_{k+1}})^2}\\\\\\ b_k=\dfrac{\sqrt{a_{k}}-\sqrt{a_{k+1}}}{a_{k}-a_{k+1}}$

Como $(a_k)$ é uma PA (considere que de razão r), podemos escrever:

$b_k=\dfrac{\sqrt{a_{k}}-\sqrt{a_{k+1}}}{a_{k}-(a_k+r)}\\\\\\ b_k=\dfrac{\sqrt{a_{k}}-\sqrt{a_{k+1}}}{-r}\\\\\\ b_k=\dfrac{\sqrt{a_{k+1}}}{r}-\dfrac{\sqrt{a_{k}}}{r}$

Note que obtivemos um termo telescópico. Para que a visualização fique mais facilitada, considere a função a seguir:

$f(k)=\dfrac{\sqrt{a_k}}{r}$

Então:

$b_k=\dfrac{\sqrt{a_{k+1}}}{r}-\dfrac{\sqrt{a_k}}{r}\\\\\\ b_k=f(k+1)-f(k)$

Que demarca a subtração entre termos consecutivos de uma função. Voltando ao somatório:

$\displaystyle S=\sum_{k=1}^{n-1}b_k\Longrightarrow S=\sum_{k=1}^{n-1}[f(k+1)-f(k)]\\\\\\ S=\begin{matrix}&b_1&=&f\!\!\!\!\diagup(2)&-&f(1)\\&b_2&=&f\!\!\!\!\diagup(3)&-&f\!\!\!\!\diagup(2)\\+&...&&...&&...\\&b_{n-2}&=&f\!\!\!\!\diagup(n-1)&-&f\!\!\!\!\diagup(n-2)\\&b_{n-1}&=&f(n)&-&f\!\!\!\!\diagup(n-1)\end{matrix}\\\\\\ \boxed{S = f(n)-f(1)}$

Substituindo os valores na função que definimos:

$S=\dfrac{\sqrt{a_{n}}}{r}-\dfrac{\sqrt{a_1}}{r}\Longrightarrow S=\dfrac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_1}}{r}$

"Desracionalizando":

$S=\dfrac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_1}}{r}\times\dfrac{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1}}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1}}\\\\\\ S=\dfrac{(\sqrt{a_{n}})^2-(\sqrt{a_1})^2}{r(\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1})}\\\\\\ S=\dfrac{a_{n}-a_1}{r(\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1})}$

Usando no numerador, mais uma vez, o fato de que $(a_k)$ é uma PA:

$\displaystyle S=\dfrac{[a_1+(n-1)r]-a_1}{r(\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1})}=\dfrac{(n-1)r}{r(\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1})}\Longrightarrow S=\dfrac{n-1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1}} \\\\\\\ \boxed{\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{1}{\sqrt{a_{k}}+\sqrt{a_{k+1}}}=\dfrac{n-1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_1}}}~~~\blacksquare$