Question

Sendo a função f (x, y) = Ln (2 – x ao quadrado – y quadrado ) , podemos afirmar que o seu domínio é

Answer 1

Pela definição de logaritmo, o logaritmando deve ser um número positivo e base deve ser um número positivo diferente de 1. Isto é, $\log_{b}a$ está bem definido se $a~\textgreater~0$ e $b~\textgreater~0,\,b\neq1$

Como $\ln x=\log_{e}x$ e $e~\textgreater~2~\textgreater~1$, precisamos apenas que o logaritmando seja um número positivo
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$f(x,y)=\ln\,(2-x^{2}-y^{2})$

Para que essa função esteja bem definida, devemos ter

$2-x^{2}-y^{2}~\textgreater~0$

Somando $x^{2}+y^{2}$ nos dois lados:

$2-x^{2}-y^{2}+x^{2}+y^{2}~\textgreater~x^{2}+y^{2}\\\\2~\textgreater~x^{2}+y^{2}$

Ou, equivalentemente, devemos ter $x^{2}+y^{2}~\textless~2$

Portanto, o domínio de $f$ será dado por

$\mathtt{D}\{f\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\,:\,x^{2}+y^{2}~\textless~2\}$

Os pontos nesse conjunto são os pontos do plano dentro do círculo de centro na origem e raio $\sqrt{2}$, mas que não estão na fronteira do círculo ($x^{2}+y^{2}=2$)