Question

Sendo a e b arcos do 1º quadrante, sen a= 1/3 e cos b= 1/2:
a) sen (a+b)
b) cos (a+b)
c) tg (a+b)

Answer 1

sen² a + cos² a = 1
cos² a = 1 - sen² a
cos² a = 1 - (1/3)²
cos² a = 8/9
cos a = √8/√9 = √8/3

sen² b + cos² b = 1
sen² b = 1 - cos² b
sen² b = 1 - (1/2)²
sen² b = 3/4
sen b = √3/√4 = √3/2

tg a = sen a/cos a
tg a = 1/3/√8/3
tg a = √8/8

tg b = sen b/cos b
tg b = √3/2/1/2
tg b = √3


a) sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a + b) = 1/3 . 1/2 + √3/2 . √8/3
sen (a + b) = 1/6 + √24/6
sen (a + b) = 1 + √24/6


b) cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b
cos (a + b) = √8/3 . 1/2 - 1/3 . √3/2
cos (a + b) = √8/6 - √3/6
cos (a + b) = √8 - √3/6


c) tg (a + b) = tg a + tg b/1 - tg a . tg b
tg (a + b) = √8/8 + √3/1 - √8/8 . √3
tg (a + b) = √8 + 8√3/8/1 - √24/8
tg (a + b) = √8 + 8√3/8/8 - √24/8
tg (a + b) = √8 + 8√3/8 - √24
tg (a + b) = 4 + 4√3/4 - √6
tg (a + b) = 4(1 + √3)(4 + √6)/10

Answer 2

antes você precisa achar o cos a e o sen b.

sen=cat.op/hip, então se o sena=1/3, significa que um dos catetos é 1 e a hipotenusa é 3, assim nós vamos usar pitágoras para achar o outro cateto:

$1^{2}+b^{2}=3^{2}$

$1+b^{2}=9$

$b=\sqrt{8}$

$b=2\sqrt{2}$

então o cos a = (2√2)/3

agora o sen b vou fazer a mesma coisa:

$1^{2}+b^{2}=2^{2}$

$1+b^{2}=4$

$b=\sqrt{3}$

então o sen b = √3/2

agora que você já tem os senos e cossenos é só usar nas fórmulas de arco duplo, que são as seguintes:

$sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa$

$cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb$

$tg(a+b)=\frac{sen(a+b)}{cos(a+b)}$

fica assim:

$sen(a+b)=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$sen(a+b)=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}$

$sen(a+b)=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$

agora a B:

$cos(a+b)=\frac{2\sqrt{2}}{3}.\frac{1}{2}-\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$cos(a+b)=\frac{2\sqrt{2}}{6}-\frac{\sqrt{3}}{6}$

$cos(a+b)=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}$

agora que temos os senos e cossenos de a+b podemos calcular a tg de a+b:

$tg(a+b)=\frac{\frac{1+2\sqrt{6}}{6}}{\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}{6}}$

$tg(a+b)=\frac{6(1+2\sqrt{6})}{6(2\sqrt{2}-\sqrt{3})}$

$tg(a+b)=\frac{1+2\sqrt{6}}{2\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

ta aí as respostas, bro. são feias mas é assim mesmo aisuhsiudfhs