Question

Sendo ⁶√a²/b, com log₂ a = 4 e log₂ b = 5 em que a e b são números reais não nulos e diferentes de 1, então logₓ 2 é igual a:

a= 16

b= 8

c= 6

d= 4

e = 2

Answer 1

log2(a)=4
a=2⁴
a=16

log2(b)=5
b=2^5
b=32

x=6√(16)²/32
x=6√256/32
x=6√8

log6√8(2)=n

(6√8)ⁿ=2
8=2³

(2^3/6)ⁿ=2
2^n/2=2¹
n/2=1
n=2

Resposta: \.:{n=2; Alternativa E}:./
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Answer 2

Vamos lá.

Veja, Vanyalcampos, que agora ficou tudo bem claro. Então vamos dar a nossa resposta da forma como costumamos, ou seja, bem passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se:

Sendo: x = ⁶√(a²/b) e sendo log₂ (a) = 4; e log₂ (b) = 5, então calcule o valor de: logₓ (2).

ii) Vamos trabalhar, inicialmente, para encontrar o valor de "x". E, para isso, vamos tomar a expressão que nos dá "x" e que é esta:

x = ⁶√(a²/b) ----- note que o que temos aqui é a mesma coisa que:

x = (a²/b)¹/⁶ ----- e isso é equivalente a:

x = (a²)¹/⁶ / (b)¹/⁶ ---- desenvolvendo, temos:

x = (a)²*¹/⁶ / (b)¹/⁶

x = (a)²/⁶ / (b)¹/⁶ ----- em (a)²/⁶ simplificaremos o expoente por "2", ficaremos com (a)¹/³. Assim, a expressão ficará sendo:

x = (a)¹/³ / (b)¹/⁶     . (I)  

A expressão (I) acima nos dá o valor de "x" após fazermos todas as simplificações. Por ora vamos deixá-la aí em cima e vamos trabalhar com as outras informações.

iii) Agora, como já esclarecemos acima, vamos trabalhar com as outras informações, que são estas:

iii.1) log₂ (a) = 4 ---> note que, aplicando a definição de logaritmos, teremos:

a = 2⁴ ---> a = 16 <--- Este é o valor de "a".

iii.2) log₂ (b) = 5 ---- aplicando a definição de logaritmos, teremos:

b = 2⁵ ---> b = 32 <--- Este é o valor de "b".

iv) Agora vamos encontrar o valor de "x". E, para isso, levaremos os valores de "a" e de "b" (a = 16; e b = 32) para a nossa expressão (I), que é esta:

x = (a)¹/³ / (b)¹/⁶ ----- substituindo-se "a" por "16" e "b" por "32", teremos:

x = (16)¹/³ / (32)¹/⁶ ----- veja que 16 = 2⁴ e 32 = 2⁵. Assim, substituindo-se, teremos:

x = (2⁴)¹/³ / (2⁵)¹/⁶ ----- desenvolvendo, teremos:

x = 2⁴*¹/³ / 2⁵*¹/⁶ ---- continuando o desenvolvimento, temos:

x = 2⁴/³ / 2⁵/⁶ ---- note que temos aqui uma divisão de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e subtraem-se os expoentes. Logo:

x = 2⁽⁴/³ ⁻ ⁵/⁶⁾ ---- note que "4/3 - 5/6 = 3/6". Assim, ficaremos com:

x = 2⁽³/⁶⁾ ---- simplificando-se o expoente "3/6" por "3", iremos ficar com "1/2". Logo, ficaremos com:

x = 2¹/² <---- Este é o valor de "x".

v) Como já temos o valor de "x" (x = 2¹/²), agora vamos encontrar o que a questão está pedindo, que é isto: logₓ (2). Vamos igualar a expressão que a questão pede a um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa. Assim teremos:

logₓ (2) = y ------ como já sabemos o valor de "x" (x = 2¹/²), teremos:

log₂¹/² (2) = y ---- aplicando a definição de logaritmos, teremos que:

(2¹/²)ʸ = 2 ---- note que o "2" que está no 2º membro tem expoente "1", apenas não se coloca. Mas é como se fosse assim:

(2¹/²)ʸ = 2¹ ----- desenvolvendo, teremos:

2⁽¹/²⁾*ʸ = 2¹ ---- note que (1/2)*y = y/2. Logo:

2ʸ/² = 2¹ ----- como as bases são iguais, então igualaremos os expoentes. Logo:

y/2 = 1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:

y = 2*1

y = 2 <--- Esta é a resposta. Opção "e". Ou seja, este é o valor pedido de logₓ (2).

É isso aí.

Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?

Adjemir.