Question

Sendo α = 30º, β = 60º e Ɣ as medidas dos ângulos internos de
um triângulo, cujo perímetro é igual a 12u.c., pode-se afirmar
que o menor lado desse triângulo mede, em unidades de
comprimento:

Answer 1

Observe a figura em anexo. Os ângulos deste triângulo são

$\alpha=30^{\circ};\;\beta=60^{\circ};\;\gamma=90^{\circ}.$


Então, temos um triângulo retângulo, onde

a hipotenusa mede $x,$

a base mede $x\cdot \cos 30^{\circ};$

a altura mede $x\cdot \mathrm{sen\,}30^{\circ}.$
 

Como o perímetro é $12\text{ u.c.},$ devemos ter

$x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x\sqrt{3}}{2}=12\\ \\ \dfrac{2x+x+x\sqrt{3}}{2}=12\\ \\ \\ \dfrac{3x+x\sqrt{3}}{2}=12\\ \\ \\ \dfrac{(3+\sqrt{3})\,x}{2}=12\\ \\ \\ (3+\sqrt{3})\,x=2\cdot 12\\ \\ (3+\sqrt{3})\,x=24\\ \\ x=\dfrac{24}{3+\sqrt{3}}\\ \\ \\ x=\dfrac{24\,(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})\,(3-\sqrt{3})}\\ \\ \\ x=\dfrac{24\,(3-\sqrt{3})}{9-3}\\ \\ \\ x=\dfrac{24\,(3-\sqrt{3})}{6}\\ \\ \\ x=4\,(3-\sqrt{3}) \text{ u.c.}$


O menor lado é o lado oposto ao ângulo de $30^{\circ}:$

$\dfrac{x}{2}\\ \\ =\dfrac{4\,(3-\sqrt{3})}{2}\\ \\ \\ =\boxed{\begin{array}{c}2\,(3-\sqrt{3})\text{ u.c.} \end{array}}$