Question

Sendo 3= 1+x+x²+x³+..., determine o valor de x.​

Answer 1

Progressão geométrica(P.G) .

A questão trabalha Soma dos termos de uma P.G infinita. Sabendo que tal soma infinita é dada por :

$\fbox{\displaystyle S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q} }$

onde :

$a_1 =$ primeiro termo

$q =$ razão

$S_{\infty} =$ soma infinita dos termos.

Lembrando que a soma infinita de termos só sera possível se a razão estiver no seguinte intervalo :

$\fbox{\displaystyle -1<q<1 }$

Sabendo disso, vamos para a questão.

A questão nos dá a seguinte expressão.

$\fbox{\displaystyle 3=1+x +x^2+x^3+... }$

repare que se trata da Soma infinita de uma P.G, sendo :

$a_1 = 1$

$q = x$

$S_{\infty} = 3$

sendo a razão q = x, logo temos que lembrar da condição de existência, ou seja :

$\fbox{\displaystyle \to -1<q<1 \ \ \ \ logo \to \ \ -1<x<1 }$

A questão pede o valor de x. Então vamos aplicar a fórmula da soma dos infinitos termos da PG :

$\fbox{\displaystyle S_{\infty} = \frac{a_1}{1-q} }$

substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle 3 = \frac{1}{1-x} \to 3(1-x) = 1 \to 3 - 3x = 1 }$

isolando x

$\fbox{\displaystyle 3 - 3x = 1 \to 3x = 2 \to x = \frac{2}{3} }$

ainda precisamos verificar se x bate com o intervalo necessário. Sabendo que :

$\displaystyle \frac{2}{3} \approx 0,6$

logo

$\fbox{\displaystyle -1<x<1 \ \to -1< \frac{2}{3}<1 \ \to\ -1< 0,6 < 1 }$

Bate com a condição de existência.

Portanto

$\fbox{\fbox{\displaystyle x = \frac{2}{3} }}$