Question

Sendo ( 3,1 ) e B (4,2) obtenha o ponto P da bissetriz dos quadrantes pares tal que a distância PA seja o dobro da distância AB?

Answer 1

Olá!

Sabendo que uma das propriedades da bissetriz dos quadrantes pares é que todos os seus pontos podem ser representados por (x, -x), e que a distância entre dois pontos é dada por $\sqrt{(Xa - Xb)^{2} + (Ya - Yb)^{2}}$, podemos equacionar o problema da seguinte maneira:

$D_{P,A}$ = 2 . $D_{A,B}$

$D_{P,A}$ = $\sqrt{(x - 3)^{2} + (-x - 1)^{2}} = \sqrt{x^{2} - 6x + 9 + x^{2} + 2x + 1} = \sqrt{2x^{2} - 4x + 10}$

$D_{A,B}$ = $\sqrt{(3 - 4)^{2} + (1 - 2)^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Então, temos:

$\sqrt{2x^{2} - 4x + 10}$ = 2 . $\sqrt{2}$

Elevando-se todos os termos da equação ao quadrado, temos:

2x² - 4x + 10 = 2² . 2

2x² - 4x + 10 = 4 . 2

2x² - 4x + 10 = 8

2x² - 4x + 10 - 8 = 0

2x² - 4x + 2 = 0

x² - 2x + 1 = 0

Temos, agora, uma equação de segundo grau a ser resolvida por meio da Fórmula de Bháskara.

Δ = b² - 4 . a . c

Δ = (-2)² - 4 . 1 . 1

Δ = 4 - 4

Δ = 0

Quando temos Δ = 0, a fórmula da raiz é $\frac{-b}{2a}$.

$\frac{-b}{2a} = \frac{2}{2}$ = 1.

Portanto, P tem como coordenadas (1, -1).

Espero ter ajudado, um abraço! :)