sendo 0 < alfa < π/4, a expressão
Soluções para a tarefa
Primeiramente temos que ver o seguinte:
Se 0 < α < π/4 cos 0 < cos α < cos π/4 → 1 < cos α < √2/2
Agora temos que 1 < √2 +√2 + 2cosα < √2/2
Temos assim:
(i) √2 + √2 + 2cosα < √2/2
(ii) √2 + √2 + 2cosα > 1
De (i) temos,
√2 + √2 + 2cosα < √2/2, elevando ambos os lados ao quadrado
(√2 + √2 + 2cosα)² < (√2/2)² → 2 + √2 + 2cosα < 2/4 → 2 + √2 + 2cosα < 1/2 → √2 + 2cosα < 1/2 - 2 → √2 + 2cosα < -3/2, elevando ao quadrado temos
(√2 + 2cosα)² < (-3/2)² → 2 + 2cosα < 9/4 → 2cosα < 9/4 - 2 → 2cosα < 1/4 → cosα < 1/4.2 → cosα < 1/8
De (ii) temos
√2 + √2 + 2cosα > 1, elevando ao quadrado ambos os membros temos
(√2 + √2 + 2cosα)² > 1 → 2 + √2 + 2cosα > 1 → √2 + 2cosα > 1 - 2 → √2 + 2cosα > -1, elevando ao quadrado novamente
(√2 + 2cosα)² > (-1)² → 2 + 2cosα > 1 → 2cosα > 1 - 2 → 2cosα > -1 → cosα > -1/2
Portanto temos,
-1/2 < cosα < 1/8